Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Ta thấy:
\(\Delta'=(m+1)^2-2m=m^2+1\geq 1>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
b) Áp dụng định lý Viete của pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(x_1+x_2-x_1x_2=2(m+1)-2m=2\) là một giá trị không phụ thuộc vào $m$
Ta có đpcm.
Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`
`<=>[-(m+1)^2]-6m+4 >= 0`
`<=>m^2+2m+1-6m+4 >= 0`
`<=>m^2-4m+5 >= 0<=>(m-2)^2+1 >= 0` (LĐ `AA m`)
`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=6m-4):}`
Có:`(2m-2)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`
`<=>(x_1+x_2-4)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`
`<=>x_1 ^2+x_1 x_2 -4x_1+x_2 ^2-4x_2=4`
`<=>(x_1+x_2)^2-x_1x_2-4(x_1+x_2)=4`
`<=>(2m+2)^2-(6m-4)-4(2m+2)=4`
`<=>4m^2+8m+4-6m+4-8m-8=4`
`<=>4m^2-6m-4=0`
`<=>(2m-3/2)^2-25/4=0`
`<=>|2m-3/2|=5/2`
`<=>[(m=2),(m=-1/2):}`
\(x^2-6x+2m-3=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=36-4\left(2m-3\right)=36-8m+12=48-8m\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)\(< =>48-8m>0< =>48>8m< =>6>m\)
Theo Vi-ét ta có :\(\hept{\begin{cases}x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-3\\x_1+x_2=\frac{-b}{a}=6\end{cases}}\)là
\(x_1\)là nghiệm phương trình \(x_1^2-6x_1+2m-3=0\)
\(=>x_1^2=3-2m+6x_1\)
\(x_2\)là nghiệm phương trình \(x_2^2-6x_2+2m-3=0\)
\(=>x_2^2=3-2m+6x_2\)
Mà \(\left(x_1^2-5x_1+2m-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2m-4\right)=2\)
\(\left(3-2m+6x_1-5x_1+2m-4\right)\left(3-2m+6x_2-5x_2+2m-4\right)=2\)
\(\left(3+x_1-4\right)\left(3+x_2-4\right)=2\)
\(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=2\)
\(x_1x_2-x_1-x_2+1=2\)
\(x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=1\)
\(2m-3-6=1\)
\(2m-9=1\)
\(m=5\)
Vậy m=5
Ta có: \(\Delta'=32>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=12\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)
Mặt khác: \(T=\dfrac{x_1^2+x^2_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}\)
\(\Rightarrow T^2=\dfrac{x_1^4+x^4_2+2x_1^2x_2^2}{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{\left(x_1^2+x_1^2\right)^2}{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}\) \(=\dfrac{\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2}{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{\left(12^2-2\cdot4\right)^2}{12+2\sqrt{4}}=1156\)
Mà ta thấy \(T>0\) \(\Rightarrow T=\sqrt{1156}=34\)
- Phương trình: \(x^2-5x+3m+1=0.\)ở dạng tổng quát \(ax^2+bx+c=0\)có hệ số \(a=1;b=-5;c=3m+1\)
- \(x_1;x_2\)là nghiệm của phương trình thì: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5\left(a\right)\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=3m+1\left(b\right)\end{cases}}\)
- \(\left|x_1^2-x_2^2\right|=_{ }\left|\left(x_1-x_2\right)\cdot\left(x_1+x_2\right)\right|=5\cdot\left|x_1-x_2\right|=15\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|=3\)
- Nếu \(x_1-x_2=3\)cùng với (a) \(x_1+x_2=5\)\(\Rightarrow x_1=4;x_2=1\)thay vào (b) \(4\cdot1=3m+1\Rightarrow m=1\)
- Nếu \(x_1-x_2=-3\)cùng với (a) \(x_1+x_2=5\)\(\Rightarrow x_1=1;x_2=4\)thay vào (b) \(4\cdot1=3m+1\Rightarrow m=1\)
- Vậy, với m=1 thì PT trên có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nguyễn Thái Sơn: vì $x_2$ là nghiệm của PT $x^2-2(m+1)x+6m-4=0$ (phương trình ban đầu) đó bạn.
Lời giải:
Áp dụng định lý Vi-et cho pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)
Khi đó, với $m\neq 2$, ta có:
\(\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_2x_2}=\frac{1}{2m-4}\)
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2(m-1)}{2m-4}=\frac{m-1}{m-2}\)
Từ đây áp dụng định lý Vi-et đảo, \(\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}\) sẽ là nghiệm của pt:
\(X^2-\frac{m-1}{m-2}X+\frac{1}{2m-4}=0\)