a: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2+4m\)

\(=4m^2-8m+4+4m=4m^2-4m+4\)

\(=4m^2-4m+1+3=\left(2m-1\right)^2+3>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m-1\right)\right]}{1}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2+2x_1x_2=2m-2+\left(-2m\right)=-2\)

=>\(x_1+x_2+2\cdot x_1\cdot x_2\) là hệ thức không phụ thuộc vào m

b: Để phương trình có đúng 1 nghiệm âm thì nghiệm còn lại sẽ lớn hơn hoặc bằng 0

=>a*c<=0

=>1*(-m)<=0

=>-m<=0

=>m>=0

c: Để \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=\left|x_2\right|\\x_1\cdot x_2< 0\end{matrix}\right.\) thì \(x_1=-x_2\)

=>\(x_1+x_2=0\)

=>2(m-1)=0

=>m-1=0

=>m=1

d: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\left(2m-2\right)^2-4\cdot1\left(-m\right)}\)

\(=\sqrt{4m^2-8m+4+4m}\)

\(=\sqrt{4m^2-4m+4}\)

\(=\sqrt{\left(2m-1\right)^2+3}>=\sqrt{3}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi 2m-1=0

=>\(m=\dfrac{1}{2}\)

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

còn thiếu -b/a > 0  ạ

a: Thay x=5 vào pt, ta được:

5^2-2(m-1)*5+m^2-4m+3=0

=>m^2-4m+3+25-10m+10=0

=>m^2-14m+38=0

=>(m-7)^2=11

=>\(m=\pm\sqrt{11}+7\)

b: x1+x2=2m-2

x1*x2=m^2-4m+3

(x1+x2)^2-4x1x2

=4m^2-8m+4-4m^2+4m-6

=-4m-2

(x1+x2)^2-4x1x2+2(x1+x2)

=-4m-2+4m-4=-6

a

x₁ + x₂ = 2(m-1)

x₁x₂ = m-3

=> \(\frac{x_1+x_2}{2}\) + 1 = x₁x₂ + 3

=> x₁ + x₂ + 2 = 2x₁x₂ + 6

=> x₁ + x₂ - 2x₁x₂ - 4 = 0

b

2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu

<=>

x₁x₂ < 0

x₁ + x₂ = 0

<=> 

2(m-1) = 0

m - 3 < 0

<=>

m = 1

a: Khim=0 thì (1) trở thành \(x^2-2=0\)

hay \(x\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)

Khi m=1 thì (1) trở thành \(x^2-2x=0\)

=>x=0 hoặc x=2

b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+8=4\left(m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm