S.4=1.2.3.4+2.3.4.4+...+k(k+1)(k+1).4

=1.2.3(4-0)+2.3.4.(5-1)+...+k(k+1)(k+2)(k+3-k-1)

=1.2.3.4-0+1.2.3.4-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)

=(k-1)k(k+1)(k+2)

=>4S+1=(k-1)k(k+1)(k+2)+1

do (k-1)k(k+1)(k+2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp +1 luôn là số chính phương ( cái này bạn tự chứng minh )

=> 4S+1 là số chính phương (đpcm)

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= 1/4. k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.

Ta có : \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)

\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)

\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k-1\right)\)

=> 4S = 1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)(k-1)

\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)

=> \(4S+1=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\)

\(=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left[\left(k^2+3k\right)\left(k^2+k+2k+2\right)\right]+1\)

Đặt \(t=k^2+3k\)

\(=>4S+1=t\left(t+2\right)+1\)

= \(t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2\)

\(=>4S+1=\left(k^2=3k\right)^2=>4S+1\) là số chính phương

Bài 1 : 

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 2 : 

Ta có k(k+1)(k+2) = 1/4 k(k+1)(k+2).4 = 1/4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 1/4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4 k(k+1)(k+2)(k-1)

→ S = 1/4.1.2.3.4 - 1/4.0.1.2.3 + 1/4.2.3.4.5 - 1/4.1.2.3.4 +...+ 1/4k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4k(k+1)(k+2)(k-1) = 1/4k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 → k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

chỉ mik tick một lần dc 3 cái

Ta có \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)

\(=\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\dfrac{1}{4}\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Từ đó ta được \(S=\dfrac{1}{4}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4-\dfrac{1}{4}\cdot0\cdot1\cdot2\cdot3+...+\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12-\dfrac{1}{4}\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\\ \Leftrightarrow S=\dfrac{1}{4}\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\ \Leftrightarrow4S+1=9\cdot10\cdot11\cdot12+1=11881=109^2\left(đpcm\right)\)

\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+.....+8.9.10\)

\(\Rightarrow4S=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+.........+8.9.10.\left(11-7\right)\)

\(\Rightarrow4S=8.9.10.11=7920\Rightarrow4S+1=7921=89^2\left(ĐPCM\right)\)

Ta có:

4S = 1 . 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . (5 - 1) + 3 . 4 . 5 . (6 - 2) + ... + 7 . 8 . 9 . (10 - 6) + 8 . 9 . 10 . (11 - 7)

4S = 1 . 2 . 3 . 4 + 2 . 3 . 4 . 5 - 1 . 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 . 6 - 2 . 3 . 4 . 5 + ... + 7 . 8 . 9 . 10 - 6 . 7 . 8 . 9 + 8 . 9 . 10 . 11 - 7 . 8 . 9 . 10

4S = 8 . 9 . 10 . 11 = 7920

4S + 1 = 7921 = 89²

Vậy 4S + 1 là scp