Đây là một bài toán tổ hợp, yêu cầu xây dựng một mô hình thỏa mãn các tính chất đã cho. Bài toán bắt đầu từ hai định nghĩa sau: Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập cân bằng nếu với hai điểm A, B thuộc S thì tồn tại điểm C thuộc S sao cho CA = CB (tức là C nằm trên trung trực AB).

Ví dụ 3 đỉnh của một tam giác đều là một tập cân bằng, còn 4 đỉnh của một hình vuông thì không cân bằng. Một tập hợp S hữu hạn các điểm trên mặt phẳng được gọi là một tập không tâm nếu không tồn tại 4 điểm A, B, C, D thuộc S sao cho DA = DB = DC. Nói cách khác, nếu 3 điểm A, B, C thuộc S thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC không thuộc S. 

Đề toán yêu cầu:

a) Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3, tồn tại một tập cân bằng gồm n điểm trên mặt phẳng.

b) Tìm tất cả các giá trị n ≥ 3 sao cho tồn tại tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, cân bằng và không tâm.

 Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt P(n)=n²+n+1. Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm a để tập hợp  {P(a+1);P(a+2);...;P(a+b)} là tập hương.

1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt: 
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0 
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0 
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max 
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5 
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b 
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24 
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60 
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27 
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12. 
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441 
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố 
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau 
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)! 
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35 
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng 
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương) 
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x 
16. a) CM x² + y² = 7z² 
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ

1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt: 
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0 
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0 
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max 
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5 
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b 
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24 
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60 
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27 
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12. 
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441 
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố 
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau 
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)! 
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35 
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng 
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương) 
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x 
16. a) CM x² + y² = 7z² 
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ