Ta có: S=1/101 > 1/200

1/102 > 1/200

1/103 > 1/200

........

1/199 > 1/200

1/200 = 1/200

=>1/101 +1/102 +1/103 +.... +1/199 +1/200 > 1/200 + 1/200 +1/200 +..... +1/200

=>1/101 + 1/102 +1/103 +..... +1/200 > 1/200x100 = 1/2

Vậy biểu thức đã cho S > 1/2 

\(S=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\)

\(=\left(\frac{1}{101}+...+\frac{1}{150}\right)+\left(\frac{1}{151}+...+\frac{1}{200}\right)>\frac{1}{150}+...+\frac{1}{150}+\frac{1}{200}+...+\frac{1}{200}\)(50 số 1/150;1/200)

\(=\frac{1}{150}.50+\frac{1}{200}.50=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

=>đpcm

Chưa hiểu lắm đề câu 1 :v thôi làm tạm câu 2 nhé (sửa lại đề câu 1 đi -_-)

Ta có : $\dfrac{1}{101}<\dfrac{1}{100};\dfrac{1}{102}<\dfrac{1}{100};...;\dfrac{1}{200}<\dfrac{1}{100}$

Vì A có 100 phân số : $(200-101):1+1=100$

$=>A<\dfrac{1}{100}.100=1$

1/ \(\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{102};...;\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{200}\)

2/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{101}< \dfrac{1}{100}\\...\\\dfrac{1}{200}< \dfrac{1}{100}\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\dfrac{1}{101}+...+\dfrac{1}{200}< \dfrac{1}{100}+...+\dfrac{1}{100}\)

( 100 phân số \(\dfrac{1}{100}\) )

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{100}.100=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Lời giải:

Dễ dàng thấy $S>0$

Mặt khác:
$S=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{200}< \frac{1}{101}+\frac{1}{101}+...+\frac{1}{101}=\frac{100}{101}<1$
Vậy $0< S< 1$ nên $S$ không phải số nguyên.

     Hôm nay olm sẽ hướng dẫn các em  giải dạng chứng minh một số không phải là một số nguyên thì các em cần sử dụng nguyên lý kẹp em nhé.  Em cần chứng minh a < S < a + 1 ( a \(\in\) Z)

  Sau đó em lập luận vì S nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nên S không phải là số nguyên vì không tồn tại một số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

                                          Giải:

S = \(\dfrac{1}{101}\) + \(\dfrac{1}{102}\)+ \(\dfrac{1}{103}\)+ ...+ \(\dfrac{1}{200}\) 

Xét dãy số: 101; 102;...; 200 có số số hạng là (200 - 101):1+1= 100

Mặt khác ta cũng có \(\dfrac{1}{101}\)> \(\dfrac{1}{102}\)> \(\dfrac{1}{103}\)> ...> \(\dfrac{1}{200}\) 

⇒ \(\dfrac{1}{101}\) \(\times\) 100 > \(\dfrac{1}{101}\)+ \(\dfrac{1}{102}\)+\(\dfrac{1}{103}\)+...+\(\dfrac{1}{200}\) > \(\dfrac{1}{200}\) \(\times\) 100

⇒ \(\dfrac{100}{101}\) >  S  > \(\dfrac{100}{200}\)⇒ \(\dfrac{100}{101}\) > S > \(\dfrac{1}{2}\) ⇒   1 > S > 0 ⇒ S \(\notin\) Z (đpcm)

Vì 0 và 1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên S không phải là số nguyên do không tồn tại một số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

S = \(\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{110}\right)+\left(\frac{1}{111}+...+\frac{1}{120}\right)+\left(\frac{1}{121}+...+\frac{1}{130}\right)\)

>  \(\frac{1}{110}.10+\frac{1}{120}.10+\frac{1}{130}.10=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}>\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{4}\) (Dễ có: \(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}>\frac{2}{12}\))

=> S > \(\frac{1}{4}\) (1)

+) S = \(\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{130}\right)+\left(\frac{1}{102}+\frac{1}{129}\right)+...+\left(\frac{1}{115}+\frac{1}{116}\right)\) (Có 15 cặp)

= \(\frac{231}{101.130}+\frac{231}{102.129}+...+\frac{231}{115.116}=231.\left(\frac{1}{101.130}+\frac{1}{102.129}+...+\frac{1}{115.116}\right)\)

ta có nhận xét: tích 101.130 có giá trị nhỏ nhất. thật vậy:

Xét 102.129 = (101 + 1).(130 - 1) = 101.130 - 101 + 130 -1 = 101.130 + 28 > 101.130

Tương tự, các cặp còn lại . Do đó, ta có \(\frac{1}{101.130}+\frac{1}{102.129}+...+\frac{1}{115.116}

Sao bạn học giỏi thế? 

b) Ta có: \(\frac{1}{101}>0\)

              \(\frac{1}{102}>0\)

                ...............,....

                 \(\frac{1}{200}>0\)

\(\Rightarrow S>0\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{101}< \frac{1}{100}\)

             \(\frac{1}{102}< \frac{1}{100}\)

               ......................

             \(\frac{1}{200}< \frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{100}.100\)

\(\Rightarrow S< 1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< S< 1\)

Vậy S ko là   số tự nhiên

a, ta có 1/101<1/100; 1/102<1/100;...;1/109<1/100

=> S=1/101+1/102+...+1/109< 1/100+1/100+...+1/100=9/100

=>S<9/100

b,ta thấy S luôn >0

S=1/101+1/102+...+1/200<1/100+1/100+...+1/100=1

=>S<1

=>0<S<1 => S không phải số tự nhiên