a: Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(\Leftrightarrow cosA=\dfrac{13^2+15^2-12^2}{2\cdot13\cdot15}=\dfrac{25}{39}\)

=>\(\widehat{A}\simeq50^0\)

b: Xét ΔABC có \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(\dfrac{5^2+8^2-BC^2}{2\cdot5\cdot8}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>\(25+64-BC^2=40\)

=>\(BC^2=49\)

=>BC=7

a, Theo định lí cosin:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA\)

\(\Leftrightarrow25=AB^2+36-2AB.6.cos30^o\)

\(\Leftrightarrow AB^2-AB.6\sqrt{3}+11=0\)

\(\Leftrightarrow AB=4\pm3\sqrt{3}\)

b, Theo định lí cosin:

\(AB^2=BC^2+AC^2-2BC.AC.cosC\)

\(\Leftrightarrow9=64+AC^2-16.AC.cos30^o\)

\(\Leftrightarrow AC^2-8\sqrt{3}AC+55=0\)

\(\Leftrightarrow AC^2-8\sqrt{3}AC+55=0\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\) Không tồn tại tam giác ABC thỏa mãn

Đề có lỗi không

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos(60)

⇒ AC² = 27

⇒ AC = 3\(\sqrt{3}\)

\(\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{BC}{sinA}\)

⇒ \(\dfrac{3}{sinC}=\dfrac{6}{sinA}=\dfrac{3\sqrt{3}}{sin60}\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}sinA=1\\sinC=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\widehat{A}=90^0;\widehat{C}=30^0\)

\(a,AC=\sqrt{\left(4-7\right)^2+\left(6-\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{9+\dfrac{81}{4}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\\ AB=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(6-4\right)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ BC=\sqrt{\left(1-7\right)^2+\left(4-\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{36+\dfrac{25}{4}}=\dfrac{13}{2}\)

\(c,BC^2=AB^2+AC^2\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=-\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow A\approx92^0\)

\(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{31}{2}\)

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\simeq40\)

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{80}{31}\)

\(a,\overrightarrow{AB}=\left(2;10\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-5;5\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-7;-5\right)\)

\(b,\) Thiếu dữ kiện

\(c,Cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\left|2\left(-5\right)+10.5\right|}{\sqrt{2^2+10^2}.\sqrt{\left(-5\right)^2+5^2}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=56^o18'\)

\(Cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\left|2\left(-7\right)+10\left(-5\right)\right|}{\sqrt{2^2+10^2}.\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-5\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=43^o9'\)

a: Xét ΔABC có

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>\(10^2+15^2-BC^2=2\cdot10\cdot15\cdot cos80\)

=>\(BC^2=325-300\cdot cos80\)

=>\(BC\simeq16,52\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>\(\dfrac{15}{sinB}=\dfrac{10}{sinC}=\dfrac{16.52}{sin80}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}sinB=\dfrac{15\cdot sin80}{16.52}\simeq0.89\\sinC\simeq0.6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}\simeq63^0\\\widehat{C}\simeq57^0\end{matrix}\right.\)

 Đầu tiên để dựng điểm M: cậu lấy P trên BC sao cho BP+AB=AC(cái này dễ đúng ko), rồi lấy M là trung điểm của CP. 
Dựng đường cao AH của tam giác, cậu có ngay AH=1/2 AC(tam giác ACH vuông tại H và C =90 độ) 
nếu tớ gọi 
độ dài cạnh BC là a thì 
ta có AB=1/2a 
AC = căn3/2a. 
AH =căn3/4 a 
BH = 1/2 AB = 1/4a (tam giác AHB vuông tại H có B = 60 độ) 
ta có: CM = 1/2CP = 1/2(CB - BP) = 1/2(CB - (AC - AB)) = a.(3 - căn3)/4 
ta lại có: MH = BC - CM - HB = a.căn3/4 
vậy ta xét tam giác AMH có tan góc AMH = AH/MH = 1 vậy có góc AMH = 45 độ 
xét tam giác ABM có góc BAM = 180 - ABM - AMB = 180 - 60 - 45 =75 độ