a) Chứng minh MNRQ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường trung bình:

+)  \(\Delta\)ABC => MN //= \(\frac{1}{2}\)  BC

+)   \(\Delta\)HBC => QR  //= \(\frac{1}{2}\)  BC (1)

=> MN//= QR 

=> MNQR là hình bình hành (2)

Xét \(\Delta\) ACH có NR là đường trung bình => NR //AH => NR //AD  (3)

Từ (1) ; ( 3) và AD vuông góc BC

=> NR vuông góc  RQ (4)

Từ (2) ; (4) => MNQR là hình chữ nhật

b) MPRI là hình bình hành

Áp dụng tính chất đường trung bình

+)    \(\Delta\)ABC => MI //= \(\frac{1}{2}\)  AC

+)   \(\Delta\)AHC => PR //= \(\frac{1}{2}\)  AC

=> MI //= PR

=> MPRI là hình bình hành

Tương tự câu a cũng chứng minh đc MP vuông PR

=> MPRI là hình chữ nhật

b) MNRQ là hình chữ nhật

có O là trung điểm MR 

=> OM =ON =OR = OQ

MPRI là hình chữ nhật

=> OM = OP = OR = OI

=> OM =ON =OR = OQ = OP = OI

=>  Q: M; P; N; N ; R; I thuộc đường tròn tâm O

c) Xét các  \(\Delta\)NEQ ; \(\Delta\) R FM ; \(\Delta\)PDI lần lượt vuông tại E; F; D tương ứng vs các cạnh huyền NQ; RM; PI

Các cạnh huyền đều có trung điểm là O ( câu b )

=> ON = OE = OQ

     OR = OF= OM

    OP= OD = OI

=> D; E; F thuộc đường tròn O.

Đường tròn Euler này giải lâu lắm, tối mk giải cho

Trong tam giác ABH có PK là đường trung bình nên PK//AH và \(PK=\frac{1}{2}AH\)

Trong tam giác ACH có NR là đường trung bình nên NR//AH và \(NR=\frac{1}{2}AH\)

Do đó PK//NR và PK=NR nên PNRK là hình bình hành

Mặt khác PK//AH mà AH _|_ BC => PK _|_ BC

Lại có PN //BC (do PN là đường trung bình tam giác ABC)

=> PN _|_ PK, do đó PNRK là hình chữ nhật

Gọi S là giao của PR và NK thì SP=SN=SK=SR

Chứng minh tương tự có IS=SM=SN=SK

Tam giác FPR vuông tại F có S là trung điểm PR nên SF=SP=SR

Tương tự cũng có SE=SK=SN; SD=SI=SM

=> SD=SE=SF=SM=SN=SP=SI=SK=SR

Vậy 9 điểm I,K,R,M,N,P,D,E,F cùng thuộc 1 đường tròn tâm I

Đường tròn đi qua 9 điểm được gọi là đường tròn Euler của tam giác ABC