a, Chứng minh được ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

=> Các tam giác vuông ABD,ACD có chung cạnh huyền AD

=> B,C cùng thuộc đường tròn đường kính AD

b, Ta có HC= 4cm

Tính được AC =  2 5 cm

Xét tam giác ACD vuông tại C có đường cao HC

A C 2 = A H . A D

Từ đó tính được AD=10cm

a) Gọi O là trung điểm của AD

mà AD là đường kính

nên O là tâm của đường tròn đường kính AD

hay OA=OD=R

Ta có: ΔACD vuông tại C(AC⊥CD)

mà CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD(O là trung điểm của AD)

nên \(CO=\dfrac{AD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(OA=OD=\dfrac{AD}{2}\)(O là trung điểm của AD)

nên OC=OA=OD(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

hay \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(cmt)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD(c-g-c)

⇒\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{ACD}=90^0\)(AC⊥CD)

nên \(\widehat{ABD}=90^0\)

hay AB⊥BD

Ta có: ΔABD vuông tại B(AB⊥BD)

mà BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD(O là trung điểm của AD)

nên \(BO=\dfrac{AD}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AO=OD=\dfrac{AD}{2}\)(O là trung điểm của AD)

nên OB=OD=OA(2)

Từ (1) và (2) suy ra OB=OC=R

⇒B,C cùng thuộc đường tròn(O)

hay B,C cùng thuộc đường tròn đường kính AD(đpcm)

1/

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{3^2+4^2}=5cm\)

\(AB^2=HB.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1,8cm\)

Xét tg vuông AHB có

\(HA=\sqrt{AB^2-HB^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow HA=\sqrt{3^2-1,8^2}=2,4cm\)

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\) 

2/

Xét tg vuông AHC và tg vuông DHC có

HC chung

HA=HD (đường thẳng đi qua tâm đường tròn và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

=> tg AQHC = tg DHC (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau) => AC=DC

Xét tg ABC và tg DBC có

AC=DC (cmt)

BC chung

BA=BD (bán kính (B))

=> tg ABC = tg DBC (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^o\)

=> A và D cùng nhìn BC dưới hai góc bằng nhau \(=90^o\) => A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC hay A; B; C; D cùng nằm trên 1 đường tròn

3/

\(\widehat{EAD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow DA\perp EF\) (1)

\(BF\perp DE\) (gt) (2)

Từ (1) và (2) => I là trực tâm của tg DEF

\(\Rightarrow EK\perp DF\) (trong tg 3 đường cao đồng quy tại 1 điểm)

Gọi K' là giao của DF với (B) \(\Rightarrow\widehat{EK'F}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow EK'\perp DF\)

Như vậy từ E có 2 đường thẳng cùng vuông góc với DF => vô lý (Từ 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => K trùng K' => K thuộc đường tròn (B)

Xét tg ABK có

BA=BK (bán kính (B)) => tg ABK cân tại B \(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{BKA}\) (góc ở đáy tg cân)