Kẻ DK \(\perp\) BH

Ta có: DK \(\perp\)BH

AC \(\perp\) BH

\(\Rightarrow\)DK // AC

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BDK}=\widehat{C}\) (hai góc đồng vị) (1)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\) \(\widehat{DBF}=\widehat{C}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{BDK}=\widehat{DBF}\)

Xét hai tam giác vuông BDK và DBF có:

BD: cạnh huyền chung

\(\widehat{BDK}=\widehat{DBF}\) (cmt)

Vậy: \(\Delta BDK=\Delta DBF\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: BK = DF (hai cạnh tương ứng) (3)

Ta lại có DE // KH, DK // EH nên chứng minh được: DE = KH (4)

Từ (3) và (4) suy ra: DE + DF = KH + BK = BH (đpcm).

Kẻ DK ⊥ BH

Ta có: BH ⊥AC(gt)

Suy ra: DK // AC (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song)

⇒ ∠KDB = ∠C (hai góc đồng vị)

VìΔABC cân tại A nên ∠B = ∠C (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠KDB = ∠B

Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:

∠BFD = ∠DKB = 90o

BD cạnh huyền chung

∠FBD = ∠KDB (chứng minh trên)

Suy ra:ΔBFD=ΔDKB (cạnh huyền góc nhọn)

⇒ DF = BK (hai cạnh tương ứng)(1)

Nối DH. Xét ΔDEH và ΔHKD, ta có:

∠DEH = ∠DKH = 90o

DH cạnh huyền chung

∠EHD = ∠KDH (hai góc so le trong)

Suy ra:ΔDEH = ΔDKH( cạnh huyền , góc nhọn)

Suy ra: DE = HK ( hai cạnh tương ứng) (2)

Mặt khác: BH = BK + KH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DF + DE = BH

Kẻ DK vuông góc BH

Tứ giác DKFE có K=H=E = 90 => DKFE là hình chữ nhật 

=> DE = KH (1)

Có DK//AC ( cùng vuông góc với BH ) => góc KDB=ACB

mà ABC=ACB ( tam giác ABC cân )

=> góc KDB = ABC

Xét tam giác BDF và DBK

có F=K=90

góc KDB=ABC

cạnh BD chung

=> tam giác BDF = DBK (ch-gn)

=> BK=DF (2)

có BK+KH=BH (3)

từ (1), (2) và (3) => DE+DF=BH