Đáp án A

Ta có 

Vì A thuộc ∆₁ nên A( a; a+ 1).

Vì P( 2;1) là trung điểm của đoạn AB nên B( 4-a; 1-a).

Mặt khác:

Đường thẳng AP có VTPT ( 4;-1) và qua P(2;1) nên có phương trình:

4x – y- 7 = 0

Đáp án B

Gọi hình bình hành là ABCD và

d:x+ y-1 = 0, ∆: 3x – y+ 5= 0  .

Không làm mất tính tổng quát giả sử

Ta có : . Vì I(3;3)  là tâm hình bình hành nên C(7;4)  ; 

=> Đường thẳng ACcó pt là: x- 4y + 9= 0.

Do  => Đường thẳng BC đi qua điểm C và có vtpt  có pt là: 3x – y- 17= 0.

Khi đó :

Ta có:

b, \(d\left(I;\Delta\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2+6+m\right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=9\\m=-17\end{matrix}\right.\)

c, Dễ tìm được tọa độ A, B: \(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(-3,-1\right)\\B=\left(2,0\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: \(\Delta_1:ax+by+3a+b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

Ta có: \(d\left(I,\Delta_1\right)=\dfrac{\left|-a+2b+3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{13}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+3b\right)^2=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+9b^2+12ab=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow9a^2+4b^2-12ab=0\)

\(\Leftrightarrow9a^2+4b^2-12ab=0\)

\(\Leftrightarrow3a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta_1:2x+3y+9=0\)

Tương tự tiếp tuyến tại B: \(\Delta_2:3x-2y-6=0\)

Chắc điểm D kia là C?

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;14\right)=2\left(2;7\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AB nhận \(\left(7;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(7\left(x-2\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow7x-2y-12=0\)

\(\overrightarrow{CB}=\left(2;6\right)=2\left(1;3\right)\Rightarrow\) đường cao AH vuông góc BC nên nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình AH:

\(1\left(x-2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+3y-5=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;8\right)=2\left(1;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (4;-1) là 1 vtpt

Phương trình AC: \(4\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x-y-7=0\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc phân giác góc A

\(\Rightarrow d\left(M;AB\right)=d\left(M;AC\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|7x-2y-12\right|}{\sqrt{7^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|4x-y-7\right|}{\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\left|7x-2y-12\right|=\sqrt{53}\left|4x-y-7\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7\sqrt{17}x-2\sqrt{17}y-12\sqrt{17}=4\sqrt{53}x-\sqrt{53}y-7\sqrt{53}\\7\sqrt{17}x-2\sqrt{17}y-12\sqrt{17}=-4\sqrt{53}x+\sqrt{53}y+7\sqrt{53}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(7\sqrt{17}-4\sqrt{53}\right)x+\left(\sqrt{53}-2\sqrt{17}\right)y-12\sqrt{17}+7\sqrt{53}=0\\\left(7\sqrt{17}+4\sqrt{53}\right)x-\left(\sqrt{53}+2\sqrt{17}\right)y-12\sqrt{17}-7\sqrt{53}=0\end{matrix}\right.\)

Đây là pt 2 phân giác trong và ngoài của góc A

Mình vẫn chưa thấy vai trò của $M,N$ trong bài toán này. Bạn xem lại đề.