\(\Leftrightarrow sinA=2sinB.cosC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{2R}=2.\dfrac{b}{2R}.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(\Leftrightarrow a^2=a^2+b^2-c^2\)

\(\Leftrightarrow b^2=c^2\Leftrightarrow b=c\)

Vậy tam giác ABC cân tại A

Ta có:

Vì:

Suy ra, tam giác ABC vuông tại A

Ta có: \(A+B+C=180^o\)

a)

\(\sin (B + C) = \sin \left( {{{180}^o} - A} \right) = \sin A\)

Vậy \(\sin A = \sin \;(B + C)\)

b)

\(\cos (B + C) = \cos \left( {{{180}^o} - A} \right) =  - \cos A\)

Vậy \(\cos A =  - \cos \;(B + C)\)

A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º

a) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C)

b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C)

a: ΔABC có góc B+góc C+góc A=180 độ

=>góc B=180 độ-góc C-góc A

=>tan B=tan(A+C)

b: ΔABC có góc C+góc B+góc A=180 độ

=>góc C=180 độ-góc B-góc A

=>sin C=sin(A+B)

c: Xét ΔABC có góc A+góc B+góc C=180 độ

=>góc A=180 độ-góc B-góc C

=>cosA=-cos(B+C)

Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)

\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)

\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12

( ta sử dụng tính chất của số chính phương)

- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1

*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a² chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)

Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)

*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)

+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)

+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a² là số lẻ và a² chia 8 dư 5 ( vô lý)

+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn

Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)

Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

\(a.\left(c.cosC-b.cosB\right)=a.\left(c.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-b.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{3ac}\right)\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2-c^2\right)c^2}{2bc}-\dfrac{\left(a^2+c^2-b^2\right)b^2}{2bc}\)

\(=\dfrac{\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}=\left(b^2-c^2\right)cosA\)