\(\overrightarrow{AH}=\left(x_H-1;y_H-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(11;2\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x_H+2;y_H-6\right)\)

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}11x_H-11+2y_H-4=0\\2x_H+4-11y_H+66=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22x_H+4y_H=30\\22x_H-121y_H=-770\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}125y_H=800\\11x_H+2y_H=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_H=\dfrac{32}{5}\\x_H=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

cái khúc từ đề bài ta có xuống í, làm sao bạn ra được cái hệ phương trình đó vậy ạ? 

Gợi ý : Viết ptđt AB và AC

 Gợi ý thôi nhé.

a) Có \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(\left(-1\right)-6\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}=\sqrt{58}\)

Tương tự như vậy, ta tính được AC, BC. 

 Tính góc: Dùng \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\)

b) Chu vi thì bạn lấy 3 cạnh cộng lại.

 Diện tích: Dùng \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

c) Gọi \(H\left(x_H,y_H\right)\) là trực tâm thì \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

 Sau đó dùng: \(\overrightarrow{u}\left(x_1,y_1\right);\overrightarrow{v}\left(x_2,y_2\right)\) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2\) để lập hệ phương trình tìm \(x_H,y_H\)

Trọng tâm: Gọi \(G\left(x_G,y_G\right)\) là trọng tâm và M là trung điểm BC. Dùng \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{matrix}\right.\) để tìm tọa độ M. 

 Dùng \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\) để lập hpt tìm tọa độ G.

Bài gì vậy ạ?

ac=5

ab=2 căn 5

bc=5

do ac=bc =>cân tại b

a.

Gọi (D):y=ax+b chứa điểm A, C

(D'):y=a'x+b' chứa điểm B, C

* Ta có: A thuộc (D) khi 1= 2a+b (1)

C thuộc (D) khi 4= 3a+b (2)

Giải hệ (1), (2) ta suy ra a=3 , b=-5

* Ta có: B thuộc (D') khi 3=6a'+b' (3)

C thuộc (D') khi 4=3a'+b' (4)

Giải hệ (3), (4) ta suy ra a=-1/3 , b= 5

Ta thấy: a.a' = 3.(-1/3)=-1

Suy ra (D) vuông góc (D') tại điểm chung C của của 2 cạnh (5)

Vậy tam giác ABC vuông tại C

Theo công thức tính cạnh của đoạn thẳng trong hệ trục tọa độ ta có:

AC=\(\sqrt{\left(x_A-x_C\right)^2+\left(y_A-y_C\right)^2}=\sqrt{\left(2-3\right)^2+\left(1-4\right)^2}\)\(=\sqrt{10}\)

BC=\(\sqrt{\left(x_B-x_C\right)^2+\left(y_B-y_C\right)^2}=\sqrt{\left(6-3\right)^2+\left(3-4\right)^2}\)\(=\sqrt{10}\)

Vậy AC=BC (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra tam giác ABC vuông cân tại C

S_ABC=\(\dfrac{1}{2}\).AB.BC=\(\dfrac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}=\dfrac{1}{2}.10=\)5 (đvdt)

b. Làm tương tự câu a tìm độ dài các cạnh AB, BD, DA và tính diện tích bằng công thức S_ABD=\(\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-DA\right)}\) với p là nửa chu vi tam giác ABD \(p=\dfrac{1}{2}\left(AB+BD+DA\right)\)

Tiếp tục dùng công thức S_ABD=\(=\dfrac{1}{2}.AB.BD.sinB\) các số liệu nêu trên đã có, chỉ cần thế vào là có góc B

Gọi I là tâm. Tìm độ dài bán kình bằng công thức S_ABD=\(\dfrac{AB.BD.DA}{4AI}\)

ta tìm được độ dài AI còn cách xác định tâm thì dựa vào giao điểm 2 đường thẳng (d) chứa đoạn AI và (d') chứa đoạn BI là xong