\(\Delta:2x+y-1=0\)

Gọi \(C=\left(0;m\right)\) thuộc trục tung.

Ta có \(d\left(C;\Delta\right)=3d\left(B;\Delta\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5\left|2.1+2.1-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{\left|2.0+1.m-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=15\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=14\\m=-16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C=\left(0;14\right)\left(\text{loại do cùng phía với }\Delta\right)\\C=\left(0;-16\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C=\left(0;-16\right)\)

Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\), M là giao điểm của BB' và \(\Delta\)

BB' có phương trình: \(x-2y+3=0\)

M có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-1=0\\x-2y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{5}\\y=\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)

\(\Rightarrow B'=\left(-\dfrac{7}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

AC có phương trình \(\dfrac{x}{0+\dfrac{7}{5}}=\dfrac{y+16}{-16-\dfrac{4}{5}}\Leftrightarrow84x+7y+112=0\)

A có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}84x+7y+112=0\\2x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{10}\\y=\dfrac{22}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow A\left(-\dfrac{17}{10};\dfrac{22}{5}\right)\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\4x+13y-10=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(9;-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(-5;5\right)=5\left(-1;1\right)\)

Phương trình AC: \(1\left(x-4\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+y-7=0\)

Phương trình đường thẳng qua C vuông góc AD có dạng:

\(2\left(x-4\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y-5=0\)

Gọi E là hình chiếu của C lên AD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y-5=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(3;1\right)\)

Gọi F là điểm đối xứng C qua AD \(\Rightarrow F\) thuộc AB đồng thời E là trung điểm CF \(\Rightarrow F\left(2;-1\right)\)

\(\overrightarrow{AF}=\left(-7;1\right)\Rightarrow\) pt AB: \(1\left(x-2\right)+7\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+7y+5=0\)

Tọa độ B có dạng: \(B\left(-7b-5;b\right)\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{-7b-1}{2};\dfrac{b+3}{2}\right)\)

M thuộc AM nên: \(4\left(\dfrac{-7b-1}{2}\right)+13\left(\dfrac{b+3}{2}\right)-10=0\Rightarrow b=1\Rightarrow B\left(-12;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BC}\Rightarrow\) phương trình BC

Tính độ dài 3 cạnh, tính diện tích theo công thức Hê-rông

Bạn tự hoàn thành phần còn lại nhé

Lời giải:

Vì $A\not\in (d_1); (d_2)$ nên 2 đường trung tuyến này xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C.

Gọi đây lần lượt là đường trung tuyến $BM,CN$

Gọi tọa độ $B(b, 2b-1), M(m, 2m-1), C(1,c), N(1,n)$

$M$ là trung điểm $AC$ nên: $m=\frac{3+1}{2}$ và $2m-1=\frac{1+c}{2}$

$\Rightarrow m=2; c=5$

Vậy tọa độ điểm C là $(1,5)$

$N$ là trung điểm $AB$ nên: $1=\frac{3+b}{2}$ 

$\Rightarrow b=-1$. Tọa độ $B(-1, -3)$