Ta có:    A B 2   +   A C 2   =   B C 2   (   3 2   +   4 2   =   5 2   )

 Suy ra, tam giác vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là:   S = 1 2 . A B . A C = 6

Nửa chu vi tam giác:  p = 3 + 4 + 5 2 = 6

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là: r = S p = 1

ĐÁP ÁN A

Đáp án A

Lời giải:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3}{2}$

Theo công thức Heron:

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$R=\frac{AB.BC.AC}{4S}=\sqrt{2}$ (đvđd)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=-\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow A\approx92^0\)

\(p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{31}{2}\)

\(S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\simeq40\)

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{80}{31}\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{4}{BC}=sin60=\dfrac{1}{2}\)

=>BC=8(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2+4^2=8^2=64\)

=>\(AC^2=48\)

=>\(AC=4\sqrt{3}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\)

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\(4+4\sqrt{3}+8=12+4\sqrt{3}\)

Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là:

\(\dfrac{8\sqrt{3}}{12+4\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}=\sqrt{3}-1\)

\(cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{7}{8}\Rightarrow sinC=\sqrt{1-cos^2C}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}\)

Áp dụng công thức trung tuyến:

\(BM=m_b=\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{31}}{2}\)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp BMC, áp dụng định lý hàm sin:

\(\dfrac{BM}{sinC}=2R\Leftrightarrow R=\dfrac{BM}{2sinC}=\dfrac{2\sqrt{465}}{15}\)

Bổ đề: Tam giác ABC cân tại A. Điểm D nằm trên trung trực của BC khi và chỉ khi \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\).

Giải: Vì \(CD=CA\), điểm I nằm trên phân giác \(\widehat{ACD}\) nên \(ID=IA\)

Ta thấy (J) tiếp xúc với CA tại A, suy ra \(\widehat{AFI}=\widehat{IAC}=\widehat{IAF}\) hay \(IA=IF\)

Từ đó \(\Delta DIF\) cân tại I. Chú ý rằng \(\widehat{IBF}=\widehat{IBD}\), suy ra \(BF=BD\) theo bổ đề.