Chứng minh phụ (phần b): 

Dựa vào chứng minh bài sau: Tam giác ABC ; D là trung điểm của BC. Nếu AB < AC thì góc ADB  (= D₁) < góc ADC (= D₂) và ngược lại  (*)

Chứng minh:

(=>) Lấy E thuộc tia AD sao cho D là trung điểm của AE

=>tam giác ADB = E DC (c - g  c)

=> AB = CE và góc BAD = AEC

Trong tam giác ACE: góc AEC đối diện với cạnh AC; góc EAC đối diện với cạnh CE 

mà AC > CE (do AC > AB)

=> góc AEC > EAC lại có AEC = BAD => BAD > DAC 

=> 180⁰ - D₁ > 180^o - D₂ => D₁ < D₂

(<=) Nếu  D₁ < D₂  thì AB < AC . 

Giả sử AB > AC : quay lại  chứng minh như bước trên => D₁ > D₂ => trái với giả thiết 

=> AB < AC

Vậy => (*)

a) Tam giác ABC có 2 trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm tam giác => G thuộc trung tuyến AD Hay A; G; D thẳng hàng

b)  +) Chứng minh được : góc BAD > DAC  (xem phần sau)

Trong tam giác ABC có AB < AC nên góc ACB < ABC 

=> góc BAD + ABC > góc DAC + ACB 

=> 180^o - (BAD + ABC) < 180^o - (DAC + ACB)

=> góc D₁ < D₂

+) Từ D₁ < D₂   => BG < CG   (xem phần sau) 

Theo tính chất trung tuyến BG = 1/3 BE ; CG = 2/3 CF 

=> BE < CF

c)

+) Theo câu b ta có: BE < CF => BE < CF + AD   (1)

+) Lấy I thuộc tia GD sao cho D là trung điểm của GI => AG = GI = 2GD

Dễ có: tam giác BDI = CDG (do BD = CD; góc BDI = CDG; DI = GD)

=> BI = CG 

Trong tam giác BGI có: GI < BG + BI Mà GI = AG ; BI = CG

=> AG < BG + CG => 2/3 AD < 2/3BE + 2/3CF

=> AD < BE + CF  (2)

Tương tự, ta có: CF < AD + BE   (3)

Từ (1)(2)(3) => AD; BE; CF thỏa mã các bất đẳng thức tam giác

a﴿ Tam giác ABC có 2 trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G => G là trọng tâm tam giác => G thuộc trung tuyến AD Hay A; G; D thẳng hàng b﴿ +﴿ Chứng minh được : góc BAD > DAC ﴾xem phần sau﴿ Trong tam giác ABC có AB < AC nên góc ACB < ABC => góc BAD + ABC > góc DAC + ACB => 180 o ‐ ﴾BAD + ABC﴿ < 180 o ‐ ﴾DAC + ACB﴿ => góc D1 < D2 +﴿ Từ D1 < D2 => BG < CG ﴾xem phần sau﴿ Theo tính chất trung tuyến BG = 1/3 BE ; CG = 2/3 CF => BE < CF c﴿ +﴿ Theo câu b ta có: BE < CF => BE < CF + AD ﴾1﴿ +﴿ Lấy I thuộc tia GD sao cho D là trung điểm của GI => AG = GI = 2GD Dễ có: tam giác BDI = CDG ﴾do BD = CD; góc BDI = CDG; DI = GD﴿ => BI = CG Trong tam giác BGI có: GI < BG + BI Mà GI = AG ; BI = CG => AG < BG + CG => 2/3 AD < 2/3BE + 2/3CF => AD < BE + CF ﴾2﴿ Tương tự, ta có: CF < AD + BE ﴾3﴿ Từ ﴾1﴿﴾2﴿﴾3﴿ => AD; BE; CF thỏa mã các bất đẳng thức tam giác

a, BE và CF là hai trung tuyến cắt nhau tại G 

=> G là trọng tâm => AG là trung tuyến của BC  (1)

D là trung điểm BC => AD cũng là trung tuyến BC  (2)

Từ(1) và (2) => A , G . D thẳng hằng 

ai muốn vào nhóm TheBlueStar thì kết bạn với mình nha

a: Xét ΔABC có

BE là đường trung tuyến

CF là đường trung tuyến

BE cắt CF tại G

DO đó: G là trọng tâm

=>A,G,D thẳng hàng

c: Trên tia đối của tia FG, lấy Q sao cho FG=FQ

=>CG=CQ

Xét tứ giác AQBE có

F là trung điểm của BA
F la trung điểm của QE
Do đó: AQBE là hình bình hành

Suy ra: AQ=BE và BQ=AE

Xét ΔAQB và ΔBGA có

AQ=BG

QB=GA

AB chung

Do đó: ΔAQB=ΔBGA

Xét ΔAQG có AQ+AG>QG

=>AG+BG>CG

=>AD+BE>CF(đpcm)

=>AD-CF>BE

=>-CF-BE>-AD

=>AD<CF+BE(đpcm)