Theo định lí hàm sin, ta có:

   
A
B
sin
ˆ
C
=
A
C
sin
ˆ
B
⇔
5
sin
45
°
=
A
C
sin
60
°
⇒
A
C
=
5.
sin
60
0
sin
45
0
=
5
√
6
2
 .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}\)

Lại có: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)(do \({0^o} < A \le {90^o}\))

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)

Vậy \(\cos A = \frac{1}{4};\)\(\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\)\(R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sinABC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot7\cdot sin120=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}\)

Xét ΔABC có \(cosB=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(\dfrac{5^2+7^2-AC^2}{2\cdot5\cdot7}=cos120=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(25+49-AC^2=-35\)

=>\(AC^2=25+49+35=109\)

=>\(AC=\sqrt{109}\)

Kẻ AH\(\perp\)BC

=>\(h_A=AH\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot7=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}\)

=>\(AH\cdot3,5=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}\)

=>\(AH=\dfrac{10\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AC}{sinB}=2R\)

=>\(2R=\dfrac{\sqrt{109}}{sin120}=\sqrt{109}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

=>\(R=\sqrt{\dfrac{109}{3}}=\dfrac{\sqrt{327}}{3}\)

Nhận xét: Tam giác ABC có a2 + b2 = c2 nên vuông tại C.

+ Diện tích tam giác: S = 1/2.a.b = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)

+ Chiều cao ha: ha = AC = b = 16.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r ⇒ r = S/p.

Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.

+ Đường trung tuyến ma:

ma2 = (2.(b2 + c2) – a2) / 4 = 292 ⇒ ma = √292.

Từ định lí cosin ta suy ra \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.5.8}} = \frac{{53}}{{80}}\)

Tam giác ABC có nửa chu vi là:\(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{6 + 5 + 8}}{2} = 9,5.\)

Theo công thức Herong ta có: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {9,5.\left( {9,5 - 6} \right).\left( {9,5 - 5} \right).\left( {9,5 - 8} \right)}  \approx 14,98\)

Lại có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14,98}}{{9,5}} = 1,577.\)

Vậy \(\cos A = \frac{{53}}{{80}}\); \(S \approx 14,98\) và \(r = 1,577.\)

Chọn B

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\(P=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{12+16+20}{2}=\dfrac{2\left(6+8+10\right)}{2}=24\)(đvđd)Diện tích tam giác ABC là:

\(S=\sqrt{P\cdot\left(P-a\right)\left(P-b\right)\left(P-c\right)}\)

\(=\sqrt{24\cdot\left(24-12\right)\left(24-16\right)\left(24-20\right)}\)

\(=\sqrt{24\cdot12\cdot8\cdot4}\)

\(=2\sqrt{6}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot2\) 

\(=16\sqrt{36}=96\)(đvdt)

Còn 3 cái còn lại giải giúp mik đi