a) Xét tam giác ACK và tam giác FAM có :

AC = FA

\(\widehat{CAK}=\widehat{AFM}\)  (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAK}\)  )

\(\widehat{ACK}=\widehat{FAM}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{DAC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta ACK=\Delta FAM\left(g-c-g\right)\)

b) Do \(\Delta ACK=\Delta FAM\left(cma\right)\Rightarrow FM=AK\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự câu a ta có: \(\Delta ABK=\Delta EAM\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow ME=AK\)

Từ đó suy ra FM = ME hay M là trung điểm EF.

c) Kéo dài FB cắt EC tại J. Ta chứng minh \(\widehat{FJE}=90^o\)

Xét tam giác FAB và tam giác CAE có:

FA = CA

AB = AE

\(\widehat{FAB}=\widehat{CAE}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta FAB=\Delta CAE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow FB=CE\) và \(\widehat{AFB}=\widehat{ACE}\)

Xét tứ giác AFJE có:

\(\widehat{AFJ}+\widehat{FJE}+\widehat{JEA}+\widehat{EAF}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}+\widehat{FJE}+\widehat{CEA}+\widehat{EAC}+90^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}+\widehat{ACE}+\widehat{CEA}+\widehat{EAC}=270^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}+180^o=270^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}=90^o\)

Vậy nên \(FB\perp EC\) (đpcm).

Bài 2:

a) Gọi giao điểm của đường phân giác ^ABC và ^ACB với AC và AB lần lượt là E và D

Dễ thấy: ^BAH=^ACB (Cùng phụ với ^HAC) => 1/2. ^BAH = 1/2. ^ACB

=> ^DAM=^ACD. Mà ^DAM+^MAC=^BAC=90⁰ => ^ACD+^MAC=90⁰ => AM \(\perp\)CD

hay NI\(\perp\)AM. 

Tương tự ta chứng minh MI\(\perp\)AN

Xét tam giác MAN: NI\(\perp\)AM; MI\(\perp\)AN => I là trực tâm của tam giác MAN (đpcm).

b) Do I là trực tâm của tam giác AMN (cmt) => AI\(\perp\)MN hay AI\(\perp\)B'C'

Ta có: Tam giác ABC có 2 đường phân giác ^ABC và ^ACB cắt nhau tại I => AI là phân giác ^BAC

=> AI là phân giác ^B'AC'.

Xét tam giác AB'C': AI là phân giác ^B'AC'. Mà AI\(\perp\)B'C' => Tam giác AB'C' cân tại A

 Lại có: ^B'AC'=90⁰ => Tam giác B'AC' vuông cân tại A.

Ta có: AE là tia phân giác góc trong tại đỉnh A

      AF là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A

Suy ra: AE ⊥ AF (tính chất hai góc kề bù)

Vậy AE ⊥ DF.

Ta có: EH = EK (chứng minh trên)

Suy ra: E thuộc tia phân giác của ∠(BAC).

Mà E khác A nên AE là tia phân giác của ∠(BAC)

Ta có: BF là tia phân giác góc trong tại đỉnh B

      BE là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B

Suy ra: BF ⊥ BE (tính chất hai góc kề bù)

Vậy BF ⊥ ED.

Lại có: CD là đường phân giác góc ngoài tại C

      CE là đường phân giác góc trong tại C

Suy ra: CD ⊥ CE (tính chất hai góc kề bù)

Vậy CD ⊥ EF.

Vậy các đường thẳng EA; FB; DC là các đường cao trong tam giác DEF.