Dùng hình của bạn Ngọc nhé

a) \(\Delta ABC\)đều có \(\widehat{BAC}=60^0;\)đường cao AD cũng là phân giác và trực tâm H cũng là trọng tâm

I là trung điểm của cạnh huyền chung AM của các tam giác vuông \(\Delta AEM,\Delta AFM,\Delta ADM\)nên \(IA=IE=ID=IF=\frac{AM}{2}\)(1)

\(\widehat{EIM}\)là góc ngoài của \(\Delta AIE\)cân tại I nên \(\widehat{EIM}=2\widehat{BAM}\). Tương tự, \(\widehat{MID}=2\widehat{MAD};\widehat{MIF}=2\widehat{MAC}\)

\(\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAD}\right)=2\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0\)

\(\widehat{EIF}=\widehat{EIM}+\widehat{MIF}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)=2.60^0=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=120^0-60^0=60^0\)

\(\Delta EDI\)cân tại I có \(\widehat{EID}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra EI = ED (2)

\(\Delta FDI\)cân tại I có \(\widehat{DIF}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra FI = FD (3)

(1),(2),(3) => IE = ED = DF = IF => DEIF là hình thoi

b) Gọi P là trung điểm AH thì \(AP=PH=\frac{AH}{2}=HD\)

Cho ID cắt EF tại K thì K là trung điểm ID (tính chất hình thoi ABCD)

\(\Delta AMH\)có IP là đường trung bình nên IP // MH (4)

\(\Delta DPI\)có KH là đường trung bình nên IP // KH (5)

(4),(5) => M,K,H thẳng hàng. Vậy MH, ID, EF đồng quy tại K

Thường thì nhg thằng xấu như ma sẽ tự nhận miink là hotboys

Tam giác AEM vuông tại I có EI là trung tuyến 
=> EI = IA = ½ AM 
=> Tam giác EIA cân tại I 
=> ^EAI = ^AEI 
=> ^MIE = ^EAI + ^AEI = 2.^EAI 

C/m tương tự, ta có : 
DI = ½ AM, ^MID=2.^DAI 
FI = ½ AM, ^MIF=2.^FAI 

Tam giác EID cân tại I (vì EI=DI=½AM) 
mà ^EID=^MIE+^MID=2.^EAI+2.^DAI=2.(^EAI+^DA... 
=> Tam giác EID đều 
=> EI = ED = DI (1) 

Tam giác DIF cân tại I (vì DI=FI=½AM) 
mà ^FID=^MIF-^MID=2.^FAI-2.^DAI=2.(^FAI-^DA... 
=> Tam giác IDF đều 
=> FI = FD = ID (2) 

Từ (1) và (2) suy ra EI=ED=FI=FD (=ID) 
=> EIFD là hình thoi 
=> KI=KD 

Gọi N là trung điểm của AH 
Tam giác ABC đều có có H là trực tâm 
=> H là trọng tâm 
=> AN = HN = HD 

Tam giác AMH có AI=MI, AN=HN 
=> IN là đường trung bình 
=> IN // MH (3) 

Tam giác IAN có KI=KD (cmt), DH=NH 
=> KH là đường trung bình 
=> KH // IN (4) 

a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên 
=> EI = DI ( = ½ AM) 
=> Tam giác EID cân tại I 
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên: 
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD 
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ 
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A) 
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều 
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi 
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID. 
=> HO//IK và HM//IK 
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O 

Giả sử M nằm giữa B and D 

a) 
tam giác IED có:

\(\hept{\begin{cases}IE=ID=\frac{1}{2}AM\\\widehat{EID}=2.\widehat{BAD}=60^0\end{cases}}\)

=> TAM GIÁC IED là tam giác đều (1)
Chứng minh tương tự ta được tam giác IFD là tam giác đều (2).

Từ (1) và (2) suy ra DEIF là hình thoi.

b) Vì
tam giác ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra:
AH = 2.HD
Gọi P là trung điểm của AH
=> AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP

=> MH // IP và KH // IP, 

=> M , K , H thẳng hàng 

c)

Vì tam giac  EDK vuông tại K nên ta có: EF =2.EK = 2. ED.sinKDE =\(\sqrt{3}\).DE do đó EF đạt GTNN

=>DE đạt GTNN => \(DE\perp AB=>M\)trùng zs  D ( Có thể dùng đ.lý pitago để tính EF theo DE ).

d) ta có diện tích DEIF=\(\frac{1}{2}DI.EF\)theo DE

e)e) Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I.

bài này dài lắm . nên gợi ý như thế thôi . cần hỏi chỗ nào ib riêng cho mình ^^