Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi O là trung điểm của BC. Một góc xOy bằng 60^o quay quanh điểm O sao cho hai cạnh Ox, Oy luôn cắt AB và AC lần lượt tại M và N.

a) cm: Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO.

b) cm: BC²=4BM.CN.

c) Khoảng cách từ điểm O đến MN không đổi khi Ox; Oy thay đổi.

d) Từ O vẽ đường thẳng d bất kì cắt AB; AC tại P; Q.

CMR: \(\dfrac{1}{AP}+\dfrac{1}{AQ}\) không đổi.

1.88        Cho DABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC,xOy=60 độ  có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh :

a)   DOB     M \(\sim\) DNOC suy ra OB² = BM . CN

b)  DOBM \(\sim\) ∼

DONM suy ra MO, NO lần lượt là tia phân giác  và .

BM . CN =\(\dfrac{1}{4}\) BC².         

Cho \(\Delta ABC\) đều với O là trung điểm của cạnh BC. Một góc \(\widehat{xOy}\) =60 độ ​​có cạnh Ox cắt AB tại M,Oy căt AC tại N. Chứng minh:

a, \(^{OC^2=BM.CN}\) 

b, MO và NO lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat{BMN}\)và \(\widehat{CNM}\)

c) Gọi I là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống MN; K là trung điểm của AO. Chứng minh rằng \(\widehat{xOy}\)=60 quay quanh O thì đường trung trực của đoạn thẳng IK luôn đi qua 1 điểm cố định

d) Chứng minh \(\Delta BOM\) đồng dạng với \(\Delta CON\)

1.1        Cho DABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC,  có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh :

a)   DOBM ∼ DNOC suy ra OB² = BM . CN

b)  DOBM ∼\(\sim\)

DONM suy ra MO, NO lần lượt là tia phân giác  và .

BM . CN = BC² 

Cho tam giác đều ABC có O là trung điểm của cạnh BC, một góc xOy bằng 60 độ có Ox cắt AB tại M, Y cắt AC tại N .Chứng minh rằng:

a, M và N lần lượt là các tia phân giác của các góc BMN và MNC.

b, Đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc quay xung quanh O sao cho các tia Ox và Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC

1. Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có điểm A  cố định và cạnh Oy có một điểm B cố định, một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn OB. Gọi H là hình chiếu của B trên tia AC. Tìm tập hợp điểm H.

2. Cho đường tròn tâm O và điểm có đinh P ở ngoài đường tròn. Cát tuyến di động qua P cắt đường tròn tại A, B. Tìm tập hợp trung điểm M của dãy AB.

3. Ch một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn AB luôn bằng một đoạn a cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB.

Xin các pro giúp em giải 3 bài toán quỹ tích này với ạ !! xin cảm ơn !

1/ Cho góc xOy cố định và điểm M cố định ở bên trong góc đó. Hãy dựng qua điểm M 1 đường thẳng d cắt 2 cạnh Ox;Oy lần lượt ở A;B sao cho \({1 \over MA}\)+\( {1 \over MB}\) đạt GTLN

2/ Cho góc xOy vuông. Trên Ox;Oy lần lượt lấy A:B sao cho OA=OB. M là điểm bất kì trên AB. Dựng (O1) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A. Dựng (O2) đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B.(O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N. CMR:

a. MN đi qua 1 điểm cố định

b. N nằm trên 1 cung tròn cố định khi M thay đổi trên AB

c. Xác định MN để O1O2 ngắn nhất

3/ Cho hình thoi ABCD có góc A=60 độ. M là 1 điểm trên cạnh BC. AM cắt DC tại N.

a. CM: AD²=BM.DN

b. Đường thẳng DM cắt BN tại E. CM: Tứ giác BECD nội tiếp

c. Coi ABCD cố định. CM: Enằm trên 1 cung cố định