a) xét tam giác AHB vuông ở H

có AH<AB(quan hệ giữa đường xiên và đg vuông góc) 

xét tam giác AHC vuông ở H

có AH<AC(quan hệ giữa đường xiên và đg vuông góc)

ta cộng 2 vế AH<AB và AH<AC ta đc:

AH+AH<AB+AC

2AH<AB+AC

AH<\(\frac{AB+AC}{2}\)

hay AH<\(\frac{1}{2}.\left(AB+AC\right)\)

b) ta có : 

- NG=\(\frac{1}{3}NC\)(t/c 3 đường trung tuyến trong tam giác) hay NG\(=\frac{1}{2}CG\)

NG=\(\frac{1}{2}CG\)

-->2NG=CG

mà 2NG=NG+NG

      NF=NG

-->NF+NG=CG hay FG=CG

- MG=\(\frac{1}{3}MB\)(t/c 3 đường trung tuyến trong tam giác) hay MG=\(\frac{1}{2}GB\)

MG=\(\frac{1}{2}GB\)

--> 2MG=GB

mà 2MG=MG+MG

MG=ME

--> MG+ME=GBhay GE=GB

xét 2 tam giác FGE và CGB có:

FG=GC(chứng minh trên )

góc FGE=góc CGE(đối đỉnh)

GE=GB(chứng minh trên )

--> 2 tam giác FGE=CGB(c.g.c)

--> EF=BC(2 cạnh tương ứng)

xét tam giác AHB vuông ở H

có AH < AB ( qh giữa đường xiên và đường vuông góc )

xét tam giác AHC vuông ở H

có : AH < ÁC ( qh giữa đường xiên và đường vuông góc )

Ta cộng hai vế AH < AB+AC

2AH< AB+AC

AH< \(\frac{AB+AC}{2}\) 

hay AH < \(\frac{1}{2}\) . ( AB+AC )

b) ta có G là giao điểm của 2 đg trung tuyến trong tg ABC -> G là trọng tâm của tg ABC

 ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh đáy của tg ABC 

=> BG= 2GM mà GM=ME

=> BG= GM+ME=GE

ta có CN là trung tuyến ứng với cạnh AC của tg ABC

=> CG=2GN mà GN=GF

=>CG=GN +NF=GF

Xét tg GFE và tg GCB có:

CG=FG ( cmt) ;

góc FGE = góc CGB ( đối đỉnh );

GE=GB ( cmt )

=> tg GFE = tg GCB ( c-g-c )

=> EF=BC

a)

trong tam giác ABH vuông tại H có AB là cạnh huyền => AB>AH

trong tam giác ACH vuông tại H có AC là cạnh huyền => AC>AH

=> AB+AC>AH+AH

=> AB+AC>2AH

=> (AB+AC)/2>AH

b)

ta có G là giao điểm của 2 đuờng trung tuyến trong tam giác ABC => G là trọng tâm tam giác ABC

ta có: BM là trung tuyến ứng với cạnh AC của tam giác ABC

=> BG=2GM mà GM=ME

=> BG=GM+ME=GE

ta có: CN là trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABC

=> CG=2GN mà GN=GF

=> CG=GN+NF=GF

xét tam giác GFE và tam giác GCB có

CG=GF(cmt)

GB=GE(cmt)

FGE=BGC(2 góc đối đỉnh)

=> tam giác GFE= tam giác GCB(c.g.c)

=> EF=BC

a) Tam giác ABH vuông tại H nên AH < AB

Tam giác AHC vuông tại H nên AH < AC

=> 2AH < AB+AC

=> AH < \(\frac{1}{2}.\left(AB+AC\right)\)

b) Vì N là trung điểm của cạnh AB, M là trung điểm của cạnh AC nên MN là đương trung bình của tam giác ABC

=> MN=\(\frac{1}{2}BC\)(1)

Vì N là trung điểm của FG, M là trung điểm của GE nên MN là đường trung bình của tam giác FGE

=> MN=\(\frac{1}{2}FE\)(2)

Từ (1) và (2)

=> FE=BC