\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{4}{3}\)

hay BD=100(cm)

Suy ra: HD=BD-BH=112-100=12(cm)

\(AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{84^2+12^2}=60\sqrt{2}\left(cm\right)\)

a) tam giác AKH vuông tại K và tam giác AHB vuông tại H có

góc KAH =góc HAB 

=> tam giác AKH đồng dạng tam giác AHB (g-g)

=> AK/AH=AH/AB

=> AH^2=AK.AB (1)

tam giác ABC vuông tại A=> AH^2=BH.CH (hệ thức lượng tam giác vuông )

(1),(2)=> AK.AB=BH.CH (đpcm)

b) đề sai bn nhé phải là cm AB^2/AC^2=HB/HC 

ta có AB^2=BH.BC (hệ thức lượng tam giác vuông )

ta có AC^2=HC.BC (hệ thức lượng tam giác vuông )

=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\left(đpcm\right)\)

1:

BC=căn AB^2+AC^2=5cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2

=>HB=3^2/5=1,8cm; CH=4^2/5=3,2cm

AH=căn 1,8*3,2=2,4(cm)

2: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*EB=HE^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*FC=HF^2

Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

AE*EB+AF*FC

=HE^2+HF^2

=EF^2

=AH^2

4:
BE*BA+CF*CA+2*HB*HC

=BH^2+CH^2+2*HB*HC

=(BH+CH)^2=BC^2

áp dụng các hệ thức trong tam giác vuông ta có

\(AH^2=HB.HC\)

theo bài ra ta có

\(\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}\)=> \(\frac{HB}{1}=\frac{HC}{4}\) => \(\left(\frac{HB}{1}\right)^2=\left(\frac{HC}{4}\right)^2\) => \(\frac{HB^2}{1}=\frac{HC^2}{16}\)

áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức ta có

\(\frac{HB^2}{1}=\frac{HC^2}{16}=\frac{HB.HC}{16}=\frac{AH^2}{16}=\frac{12^2}{16}=9\)

=> \(\frac{HB^2}{1}=9=>HB=3\)

=> \(\frac{HC^2}{16}=9=>HC=12\)

Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH^2=4BH^2\)

\(\Rightarrow BH=6\left(cm\right),CH=24\left(cm\right)\)

Chúc em học tốt :)