Kẻ đường cao \(BH\).

Xét tam giác \(ABH\)vuông tại \(H\): 

\(BH^2=AB^2-AH^2\)

Xét tam giác \(BCH\)vuông tại \(H\):

\(BH^2=BC^2-CH^2=BC^2-\left(AC-AH\right)^2\)

\(=BC^2-AC^2+2AC.AH-AH^2\)

\(\Rightarrow BC^2-AC^2+2AC.AH-AH^2=AB^2-AH^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2-2AC.AH=AB^2+AC^2-2AC.ABcosA\)

Tham Khảo:

Xét tam giác ABC nhọn có \(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{4\cdot\dfrac{1}{2}AB\cdot AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{4S_{ABC}}\)

Cmtt: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\widehat{B}=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{4S_{ABC}}\\\cos\widehat{C}=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{4S_{ABC}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}\\ =\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2+AB^2+BC^2-AC^2+AC^2+BC^2-AB^2}{4S_{ABC}}\\ =\dfrac{AB^2+AC^2+BC62}{4S_{ABC}}\)

đây là định lý cosin lớp 10

a² = b²+c² - 2bccosa

b² = a²+c² - 2accosb

c² = a²+b² -2abcosc

Đây là định lý hàm cos!

- Kẻ đường cao AH xuống BC

⇒CH=AC.cosC

Áp dụng định lí Pitago ta có:

AB²=AH²+BH²=AC²−CH²+(BC−CH)²

=AC²−CH²+BC²−2BC.CH+CH²

=AC²+BC²−2BC.CH

=AC²+BC²−2AC.BC.cosC (Điều phải chứng minh)