Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\).

b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\)không đổi.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác  BDP cắt AB tại I. Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: AIPK nội tiếp và \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\)

b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G. Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr; Khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\)không đổi

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và  \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\)

b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\) không đổi.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BA ( D \(\ne A,B\)). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh CB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung CB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt CB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác CIPK nội tiếp

b) CMR:  PK.QC =QB.PD .

c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BA tại E. Cmr khi D di chuyển trên BA thì \(\frac{AD}{AE}\) không đổi.

Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho EM=EC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N ( N khác B). Các đường thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lượt tại D và F. 

a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED

b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN

c) Gọi I là trung điểm của AN, tia IM cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh đường thẳng CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N (A # M&N). Gọi I, P và Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OH, BH, và CH. Chứng minh:

a) Góc AHN = ACB

b) Tứ giác BMNC nội tiếp.

c) Điểm I là trực tâm tam giác APQ.

Bài 2:

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó (C # A&B). M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và BC. Các đường thẳng BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và BC cắt nhau ở P. Chứng minh:

a) Tứ giác ICPN nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AB<AC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại E; AE cắt (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng d qua E và song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM cắt (O) tại N (khác điểm A).

a) Chứng minh: \(EB^2=ED.EA\)và \(\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}\)

b) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua 1 điểm

c) Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP

d) Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân

BÀI 1 cho tam giác ABC vuông tại A .Nữa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D.Trên cung AD lấy một điểm E .Nối BE và kéo dài AC tại F.Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp 

BÀI 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định ,CD là đường kính thay đổi của đường tròn (O) ( khác AB ) .Tiếp tuyến tại B của (O ) cắt AC và AD lần lượt tại N và M .Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp 

BÀI 3 :Cho hai đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại O .Biết OM.ON= PO.OQ.Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp 

BÀI 4: Cho tam giác ABC có đường cao AH . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC 
a) c/m AMHN nội tiếp
b) BMNC nội tiếp 

BÀI 5: Cho tam giác ABC các đường phân giác trong là BE và CF cắt nhau tại M và các đường phân giác ngoài của các góc B và góc C cắt nhau tại N .chứng minh BMCN nội tiếp

BÀI 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB .Gọi M là một điểm trên tiếp tuyến xBy , đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại C , lấy D thuộc BM, nối AD cắt (O) tại I. c/m CIDM nội tiếp

BÀI 7: Cho đường tròn tâm (O) có cung EH và S là điểm chính giữa cung đó .Trên dây EH lấy hai điểm A và B .Các đường thẳng SA và SB cắt đường tròn lần lượt tại D và C .c/m ABCD là tứ giác nội tiếp

BÀI 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB , từ A và B vẽ Ax vuông góc AB và By vuông góc BA (Ax và By cùng phía so với bờ AB ) .Vẽ tiếp tuyến x'My' (tiếp điểm M) cắt Ax tại C và By tại D ; OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K .Chứng minh CIKD nội tiếp

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.