Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3

Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3

Simplifying the expression, we get:

ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.

                                                                         Nguyễn Văn A                                                                                                         

ko có đáp án bạn ạ

ÁP dụng BĐT Bunhia:

\(\left(m_a+m_b+m_c\right)^2\le3\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\frac{9}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow m_a+m_b+m_c\le\frac{3}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(ab+ac+bc\right)}{abc}\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P_{min}=2\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)

Sơ lược cách giải thôi nhé, bạn tự thay vào tính, mấy bài toàn căn với số thế này làm biếng tính toán hết ra lắm:

D là trọng tâm tam giác, gọi M là trung điểm AC; N là trung điểm AB

Theo tính chất trọng tâm: \(BD=\frac{2}{3}m_b=4\) ; \(CD=\frac{2}{3}m_c=6\)

\(DN=m_c-CD=3\) ; \(DM=m_b-BD=2\)

\(cos\widehat{BDC}=cos120^0=\frac{CD^2+BD^2-BC^2}{2BD.CD}\Rightarrow a=BC=...\)

\(cos\widehat{CDM}=cos60^0=\frac{DM^2+CD^2-CM^2}{2DM.CD}\Rightarrow CM=...\Rightarrow b=2CM=...\)

\(cos\widehat{BDN}=cos60^0=\frac{DN^2+BD^2-BN^2}{2DN.BD}\Rightarrow BN=...\Rightarrow c=2BN=...\)