Kẻ BM và CN vuông góc với AD

a)  AC.sin\(\frac{A}{2}\)=CN \(\le\) CD ; AB.sin\(\frac{A}{2}\)=BM \(\le\) BD 

=> (AC+AB)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\) CD+BD = BC hay (b+c)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\)a <=> sin\(\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

dấu '=' xảy ra khi M,N, D trùng nhau hay tam giác ABC cân ở A

b) làm tương tự ta có sin\(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c}\); sin\(\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=> sin\(\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{a.b.c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)  (1)

mà (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)=8a.b.c => (1) \(\le\frac{1}{8}\)

dấu '=' khi a=b=c hay tam giác ABC là tam giác đều

c) xét 2 tam giác CND và tam giác BMD có CN // BM ( đều vuông góc với AD) nên \(\widehat{NCD}=\widehat{MBD}\); lại có \(\widehat{NDC}=\widehat{BDM}\)

=> là 2 tam giác đồng dạng => \(\frac{DN}{DM}=\frac{NC}{MB}=\frac{AC.sin\frac{A}{2}}{AB.sin\frac{A}{2}}=\frac{b}{c}=>DN=DM.\frac{b}{c}\)

AD = AM+MD => \(\frac{b}{c}AD=\frac{b}{c}AM+\frac{b}{c}MD\)

AD= AN-ND

=>cộng vế theo vế ta được  AD(\(\frac{b}{c}+1\)) = \(\frac{b}{c}\)AM+\(\frac{b}{c}MD\)+ AN - ND =  \(\frac{b}{c}AM+AN\)= \(\frac{b}{c}ABcos\frac{A}{2}+ACcos\frac{A}{2}\)=\(\frac{b}{c}.c.cos\frac{A}{2}+bcos\frac{A}{2}\)= 2b.\(cos\frac{A}{2}\)

=> AD(\(\frac{b+c}{c}\)) = 2b\(cos\frac{A}{2}\) <=> AD= \(\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}\)

pn ơi lm hộ t nốt bài 2 câu b,c đc k

Anh Phan hữu Dũng cho em nói một câu

Anh cho em một tích

Em mới học lớp 7 

Mà giải được lớp 9

Thôi cho em tích nha Phan hữu Dũng

dùng hlt trong tam giác 

CÓ VỀ ĐỀ BÀI SAI Ở CHỖ ĐẲNG THỨC ! 

minh biet lam cau b)

ke phan giac AD  , BM vuong goc AD , CN vuong goc AD

sin \(\frac{A}{2}\) =\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\)

ma BM\(\le BD,CN\le CD\Rightarrow BM+CN\le BC\)

=> sin \(\frac{A}{2}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{a}{b+c}\)

dau = xay ra  <=> AD vuong goc BC  => AD la duong phan giac ,la  duong cao  => tam giac ABC can tai  A => AB=AC => b=c

tương tự sin \(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c};sin\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=>\(sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{a\cdot b\cdot c}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)

ap dung cosi cjo 2 so duong   b+c\(\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac};a+b\ge2\sqrt{ab}\)

=> \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge8abc\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\cdot sin\frac{B}{2}\cdot sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)

dau = xay ra <=> a=b=c hay tam giac ABC deu

nhìn bài toán kho hiểu nhỉ ???

Tự chứng minh từng cái này rồi suy ra cái đó nhé b.

Ta có: \(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}\)

Tương tự ta suy ra: 

\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}+3sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\left(1\right)\)

Tiếp theo chứng minh:

\(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{cosA+cosB+cosC-1}{2}\left(2\right)\)

\(sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}-\frac{cosA+cosB+cosC}{2}\left(3\right)\)

\(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\left(4\right)\)

Từ (1), (2), (3), (4) suy được điều phải chứng minh

ko hiểu ( vì em mới học lớp 6)