Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với d, cắt BC tại D 
Ta có BH,CK,DA cùng vuông góc d nên các đường thẳng này song song nhau 
Suy ra được các cặp góc bằng nhau là ACK=DAC, HBA=BAD 
Tam giác ABC vuông tại A nên góc BAD+DAC=90 độ 
nên ta có góc HBA+ góc ACK= 90 độ (1) 
Tam giác AKC vuông tại K nên góc ACK+KAC= 90 độ (2) 
Từ 1 và 2 ta có góc HBA= góc KAC 
Xét 2 tam giác vuông HBA và KAC có cạnh huyền AB=AC, góc HBA= góc KAC 
Nên 2 tam giác này bằng nhau suy ra HB=AK, HA=CK 
Do đó HB^2+CK^2=HB^2+HA^2=AB^2

Đường thẳng d bất kì đi qua A nên d có thể có các vị trí sau:

+) d không cắt cạnh BC.

Trong tam giác vuông AHB có: góc HAB + ABH = 90⁰  (1)

Mà góc HAB + BAC + CAE = 180^o => góc HAB + CAE = 180^o - BAC = 180 - 90 = 90^o    (2)

(1)(2) => góc ABH = CAE 

 tam giác vuông  ABH = CAE ( do cạnh huyền AB = AC; góc ABH = CAE)

=> AH = CE

*) Áp dụng định lí Pi ta go trong tam giác vuông ABH có: BH² + AH² = AB²

mà AH = CE nên BH² + CE² = BH² + AH² = AB² 

Dễ có: AB² + AC² = BC² ; AB = AC => 2.AB² = a² => AB² = a²/ 2

Vậy BH² + CE² = a²/ 2

+) Khi d trùng với AB :

=> H trùng với B; E trùng với A=> BH = 0; CE = CA

 => BH² + CE² = AC² = a²/ 2

+) d trùng với AC (tương tự như d trùng với AB)

+) Khi d cắt cạnh BC: 

*) Ta  cũng chứng minh : tam giác AEC = BHA (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AE

*) Trong tam giác vuông AEC có: AE² + CE² = AC²

=>   BH² + CE² = AE² + CE² =  AC² = a²/ 2

Vậy BH² + CE² =   AC² = a²/ 2

a) Ta có : CE ⊥ d

                BD ⊥ d

\(\Rightarrow\)CE // BD  (ĐPCM)

b) Xét △CEA và △ADB có :

    AC = AB

   \(\widehat{EAC}=\widehat{ABD}\)(cùng phụ với \(\widehat{DAB}\))

\(\Rightarrow\) △CEA = △ADB (cạnh huyền-góc nhọn)

c) Có △CEA = △ADB

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BD=AE\\CE=AD\end{cases}}\)(Cặp cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)BD + CE = AE + AD = DE (ĐPCM)

d)  △ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

\(\Rightarrow\)AM = BM = CM

\(\Rightarrow\)△ABM cân tại M

Có : \(\widehat{ECA}=\widehat{BAD}\)(△CEA = △ADB)

       \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\) (△ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ECA}+\widehat{ACB}=\widehat{BAD}+\widehat{ABC}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{MAB}\)(△MAC cân tại M)

\(\Rightarrow\widehat{ECA}+\widehat{ACB}=\widehat{BAD}+\widehat{MAB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ECM}=\widehat{MAD}\)

Xét △ADM và △CEM có :

       EC = AD

       \(\widehat{ECM}=\widehat{MAD}\)

       AM = CM

\(\Rightarrow\)△ADM = △CEM (c-g-c)   (ĐPCM)

\(\Rightarrow\)EM = MD   (Cặp cạnh tương ứng) (1)

Có : \(\widehat{EMA}+\widehat{EMC}=90^o\)

       \(\widehat{EMC}=\widehat{DMA}\)(△ADM = △CEM)

\(\Rightarrow\widehat{EMA}+\widehat{DMA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EMD}=90^o\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra △DME vuông cân tại M.

mình không biết

dòng cuối: em sửa lại kết luận:  tam giác DIE vuông nhé!

2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A.. Qua A vẽ đường thẳng d ở ngoài tam giác ABC . Vẽ BD vuông góc với d taị D. CE vuông góc với d tại E. M là trung điểm CB. Chứng minh rằng:

a) BD + CE = DE

b) Tam giác MDE là tam giác vuông cân