Câu hỏi của Incognito

Question

Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M bất kì, trên MC lấy K sao cho BA=BK, trên MB lấy L sao cho CA=CL. Hai đoạn BK,CL cắt nhau tại I. Đường tròn (HBL) cắt (HCK) tại T k...

Nguyễn Tất Đạt · Accepted Answer

A B C H T I M K L S Q R T' Gọi đường thẳng IH cắt đường tròn (HBL) tại T'. Ta sẽ chứng minh T' trùng T.Thật vậy: Kẻ tia tiếp tuyến tại K của đường tròn (B;BA) cắt HA tại S. Khi đó: ^BKS = ^BHS = 900Suy ra tứ giác BSKH nội tiếp, do đó ^BSH = ^BKH.Theo hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: BA2 = BH.BC hay BK2 = BH.BC nên $\Delta$BHK ~ $\Delta$BKC (c.g.c)Suy ra: ^BKH = ^BCK. Từ đó: ^BSH = ^BCK cho nên CK vuông góc BS (vì ^BSH + ^SBH = 900)Gọi CK cắt BS tại R thì CR vuông góc BS. Tương tự có BQ vuông góc CSMà CR cắt BQ tại M nên M chính là trực tâm trong $\Delta$BCS => SM vuông góc BCDo M cũng nằm trên AH vuông góc BC nên S,M,H thẳng hàng.Đồng thời ^CBQ = ^CSH. Lại có $\Delta$CLH ~ $\Delta$CBL (c.g.c) nên ^CLH = ^CBL.Từ đó: ^CSH = ^CLH dẫn tới tứ giác CHLS nội tiếp. Suy ra: ^CLS = ^CHS = 900Với hệ thức lượng tam giác vuông, ta có các đẳng thức về cạnh: SK2 = SR.SB = SQ.SC = SL2 vậy thì SK = SL. Kết hợp ^SKI = ^SLI = 900 ta được $\Delta$SIK = $\Delta$SIL (Ch.cgv)Do đó: IK = IL. Từ ^CLH = ^CBL (cmt) ta thấy CL là tiếp tuyến từ C đến (HBL) kéo theo IL2 = IH.IT'Mà IL = IK nên IK2 = IH.IT'. Từ đó: $\Delta$IKH ~ $\Delta$IT'K (c.g.c) nên ^IKH = ^IT'KTa lại có: ^BKH = ^BCK (cmt) suy ra ^IKH = ^HCK. Vậy nên ^HT'K = ^HCKNhư vậy: Tứ giác HT'CK nội tiếp hay T' thuộc vào đường tròn (HCK). Mà (HBL) cắt (HCK) ở T khác H nên T' trùng T.Vậy 3 điểm H,I,T thẳng hàng (đpcm).Câu trả lời: A B C H T I M K L S Q R T' Gọi đường thẳng IH cắt đường tròn (HBL) tại T'. Ta sẽ chứng minh T' trùng T.Thật vậy: Kẻ tia tiếp tuyến tại K của đường tròn (B;BA) cắt HA tại S. Khi đó: ^BKS = ^BHS = 900Suy ra tứ giác BSKH nội tiếp, do đó ^BSH = ^BKH.Theo hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: BA2 = BH.BC hay BK2 = BH.BC nên $\Delta$BHK ~ $\Delta$BKC (c.g.c)Suy ra: ^BKH = ^BCK. Từ đó: ^BSH = ^BCK cho nên CK vuông góc BS (vì ^BSH + ^SBH = 900)Gọi CK cắt BS tại R thì CR vuông góc BS. Tương tự có BQ vuông góc CSMà CR cắt BQ tại M nên M chính là trực tâm trong $\Delta$BCS => SM vuông góc BCDo M cũng nằm trên AH vuông góc BC nên S,M,H thẳng hàng.Đồng thời ^CBQ = ^CSH. Lại có $\Delta$CLH ~ $\Delta$CBL (c.g.c) nên ^CLH = ^CBL.Từ đó: ^CSH = ^CLH dẫn tới tứ giác CHLS nội tiếp. Suy ra: ^CLS = ^CHS = 900Với hệ thức lượng tam giác vuông, ta có các đẳng thức về cạnh: SK2 = SR.SB = SQ.SC = SL2 vậy thì SK = SL. Kết hợp ^SKI = ^SLI = 900 ta được $\Delta$SIK = $\Delta$SIL (Ch.cgv)Do đó: IK = IL. Từ ^CLH = ^CBL (cmt) ta thấy CL là tiếp tuyến từ C đến (HBL) kéo theo IL2 = IH.IT'Mà IL = IK nên IK2 = IH.IT'. Từ đó: $\Delta$IKH ~ $\Delta$IT'K (c.g.c) nên ^IKH = ^IT'KTa lại có: ^BKH = ^BCK (cmt) suy ra ^IKH = ^HCK. Vậy nên ^HT'K = ^HCKNhư vậy: Tứ giác HT'CK nội tiếp hay T' thuộc vào đường tròn (HCK). Mà (HBL) cắt (HCK) ở T khác H nên T' trùng T.Vậy 3 điểm H,I,T thẳng hàng (đpcm).

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP