Vì AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên ta có AM = MC = MB = BC/2

Dễ thấy \(\widehat{AMB}=2.\widehat{ACB}\) (Tam giác AMC cân tại M có AMB là góc ngoài)

Suy ra : \(Sin2\alpha=Sin\widehat{AMB}=\frac{AH}{AM}\)

Mặt khác ta lại có \(BC=2AM\) ; \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\) \(\Rightarrow Sin2\alpha=\frac{\frac{AB.AC}{BC}}{\frac{BC}{2}}=\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=2Sin\widehat{ABC}.Sin\widehat{ACB}=2Cos\alpha.Sin\alpha\)

Vậy \(Sin2\alpha=2Sin\alpha.Cos\alpha\)

\(\sin\alpha=\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)

\(=\sqrt{1-\frac{4}{25}}\)

\(=\sqrt{\frac{21}{25}}=\)\(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

\(\Rightarrow\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2}{5}:\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{2}{\sqrt{21}}\)và \(\cot\alpha=\frac{\sqrt{21}}{2}\)

2. Tương tự a)

\(\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}\)

\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)

\(=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan B,\cot B\)bạn tự tính nốt.

\(sin\alpha=0,4\Rightarrow sin^2\alpha=0,16\Rightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha=1-0,16=0,84\Rightarrow cos\alpha=\frac{\sqrt{21}}{5}\)

\(tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{0,4}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\)

\(cot\alpha=1:sin\alpha=1:\frac{2\sqrt{21}}{21}=\frac{21}{2\sqrt{21}}\)

a) sin anpha = 2/3 => góc anpha = 42^o 

cos 42^o = 0,743

tan 42^o =  0,9

cot  42^o = 1/tan 42^o = 1/0,9 = 1,111

b) tan anpha + cot anpha = 3

<=> tan anpha + 1/tan anpha = 3

<=> tan²  anpha = 2

<=> tan anpha = \(\sqrt{2}\)

=> góc anpha =  55^o 

Ta có: a = sin 55^o . cos 55^o

<=> a = 0,469