a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Vì I là trung điểm của BC nên IM // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vì IM // AH và BM = MC nên tam giác IMC và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠IMC = ∠AHM.
- Nhưng ∠IMC = 90° (vì IM vuông góc với BC).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BC.

b) Ta có:
- Gọi K là điểm đối xứng của H qua I.
- Vì I là trung điểm của BC nên IK // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Vì K là điểm đối xứng của H qua I nên HK = HI.
- Ta có: AH = 2IK (vì I là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng của H qua I).
- Vì CK // BD (vì CK và BD đều vuông góc với BC và đi qua điểm H) nên tam giác CKD và tam giác BHD là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: CK/BD = DK/DH.
- Nhưng CK = BD (vì CK // BD) nên DK = DH.
- Vậy, ta có: DK = DH.
- Từ đó, ta suy ra tam giác ABK vuông.

c) Ta có:
- Gọi N là trung điểm của AB.
- Vì I là trung điểm của BC nên IN // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có: AN = NB (vì N là trung điểm của AB).
- Vì IN // AH và AN = NB nên tam giác INB và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠INB = ∠AHM.
- Nhưng ∠INB = 90° (vì IN vuông góc với AB).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BM.
- Nhưng BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vậy, ta có: AH vuông góc với MC.
- Từ đó, ta suy ra tam giác BEA vuông.

d) Ta có:
- Gọi N là trung điểm của AB.
- Vì I là trung điểm của BC nên IN // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có: AN = NB (vì N là trung điểm của AB).
- Vì IN // AH và AN = NB nên tam giác INB và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠INB = ∠AHM.
- Nhưng ∠INB = 90° (vì IN vuông góc với AB).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BM.
- Nhưng BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vậy, ta có: AH vuông góc với MC.
- Gọi D' là điểm đối xứng của D qua M.
- Ta có: MD' = MD (vì D' là điểm đối xứng của D qua M).
- Vì MD' vuông góc với BC và MD vuông góc với BC nên tam giác MBD' và tam giác MCD là hai tam giác vuông cân.
- Do đó, ta có: MB = MD' và MC = MD.
- Từ đó, ta suy ra MB.MC = MD.MD' = MD^2.
- Nhưng MD^2 = DC^2 - MC^2 (theo định lí Pythagoras).
- Vậy, ta có: MB.MC = DC^2 - MC^2.

a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Vì I là trung điểm của BC nên IM = MC.
- Vì I là trung điểm của BC nên BI = IC.
- Vì I là trung điểm của BC nên BM = MC.
- Vì I là trung điểm của BC nên MI song song với AH (do M là trung điểm của AC và I là trung điểm của BC).
- Vì MI song song với AH và IM = MC nên AH vuông góc với BC (do đường cao BD và CE cắt nhau tại H).

b) Ta có:
- K là điểm đối xứng của H qua I nên KH = HI.
- Vì KH = HI nên tam giác KHI là tam giác cân tại K.
- Vì KH = HI nên tam giác KHI là tam giác vuông tại K.
- Vì KH = HI nên tam giác KHI là tam giác đều.
- Vì tam giác KHI là tam giác đều nên góc HKI = 60 độ.
- Vì góc HKI = 60 độ nên góc BKH = 60 độ.
- Vì góc BKH = 60 độ nên tam giác ABK là tam giác vuông tại B.

c) Ta có:
- Vì CK // BD nên góc BCK = góc CBD.
- Vì CK // BD nên góc BKC = góc BDC.
- Vì góc BCK = góc CBD và góc BKC = góc BDC nên tam giác BCK và tam giác BDC có cặp góc tương đương.
- Vì tam giác BCK và tam giác BDC có cặp góc tương đương nên chúng tương đồng.
- Vì tam giác BCK và tam giác BDC tương đồng nên tỉ số đồng dạng giữa chúng là: BC/BD = BK/BD.
- Vì BC/BD = BK/BD nên BC = BK.
- Vì BC = BK nên tam giác ABK là tam giác cân tại B.
- Vì tam giác ABK là tam giác cân tại B nên BE = BA.

d) Ta có:
- Vì M là trung điểm của AC nên BM = MC.
- Vì DM vuông góc với BC nên góc BDM = 90 độ.
- Vì DM vuông góc với BC nên góc DMC = 90 độ.
- Vì góc BDM = 90 độ và góc DMC = 90 độ nên tam giác BDM và tam giác DMC là tam giác vuông tại D.
- Vì tam giác BDM và tam giác DMC là tam giác vuông tại D nên chúng tương đồng.
- Vì tam giác BDM và tam giác DMC tương đồng nên tỉ số đồng dạng giữa chúng là: BD/DM = DM/DC.
- Vì BD/DM = DM/DC nên BD.DC = DM^2.
- Vì BD.DC = DM^2 nên BD.DC - MC^2 = DM^2 - MC^2.
- Vì BD.DC - MC^2 = DM^2 - MC^2 nên MB.MC = DM^2 - MC^2.

b)    CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC

· Gọi F là giao của BD và CA.

Ta có BD.BE= BA.BM (cmt)

= > B D B A = B M B E = > Δ B D M ~ Δ B A E ( c − g − c ) = > B M D = B E A

Mà BCF=BEA(cùng chắn AB)

=>BMD=BCF=>MD//CF=>D là trung điểm BF

· Gọi T là giao điểm của CD và AH .

DBCD có TH //BD  = > T H B D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (3)

DFCD có TA //FD  = > T A F D = C T C D  (HQ định lí Te-let) (4)

Mà BD= FD (D là trung điểm BF ) (5)

· Từ (3), (4) và (5) suy ra TA =TH ÞT là trung điểm AH .

Gọi AM cắt DE tại I 

Theo tính chất hình chữ nhật ADHE : \(\widehat{E_1}=\widehat{HAC}=\widehat{MBA};\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=\widehat{AHE}=\widehat{MCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{ACM}\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\)(*)

Do \(\Delta AID\)vuông tại I suy ra 

\(\widehat{DAM}+\widehat{D_1}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DAM}+\widehat{DAH}=90^0\left(1\right)\)

\(\widehat{ABM}+\widehat{DAH}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)(**)

Từ (*);(**) suy ra MB=MC hay M là trung điểm BC . Do MF//AC suy ra 

\(\widehat{MFC}=\widehat{ACF}\)

Mà 

\(\widehat{ACF}=\widehat{MCF}\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{MCF}\Rightarrow\Delta MFC\)cân tại M suy ra MC=MF

Mà MB=MC suy ra \(\Delta BFC\) có  FM là trung tuyến \(FM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\)  \(\Delta BFC\)vuông tại F hay  \(BF\perp CF\left(đpcm\right)\)

1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm.