Vì AM là đường trung tuyến

=> BM=CM

Xét ∆BMK và ∆CMH có:

MH=MK(gt)

\(\widehat{BMK}=\widehat{CMH}\)(đối đỉnh)

BM=CM(gt)

=> ∆BMK=∆CMH(c.g.c)

=> \(\widehat{BKM}=\widehat{CHM}=90^o\)

Ta có: BK⊥MK; CH⊥MK

=> BK//CH hay BK//AC

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

=> AM=BM=CM

=> ∆AMC cân tại M

mà MH là đường cao 

=> MH đồng thời là đường trung tuyến

=> H là trung điểm AC => BH là đường trung tuyến

Xét ∆ABC có: 2 đường trung tuyến AM và BH cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm ∆ABC

a)  Ta có :

\(15^2=225\)

\(9^2=81\)

\(12^2=144\)

Vì \(15^2=225\)  (1)

\(9^2+12^2=81+144=225\)   (2)

( Bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương 2 cạnh còn lại)

Từ(1) và (2)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông 

b)  Xét \(\Delta MHC\)và \(\Delta MKB\)Có :

\(MH=MK\left(GT\right)\)   (1)

\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\)( đối đỉnh )        (2)

\(MC=MB\left(GT\right)\) (3)

Từ (1) ;(2) và (3)

\(\Rightarrow\Delta MHB=\Delta MKB\)( Cạnh - góc - cạnh)

c) --Vì \(MB=MC\)(GT)      (1)

 -- Áp dụng tính chất đường cao hạ từ trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông  ta có :

\(HA=HC\) (2)

Từ (1) và (2)

=> G  là trọng tâm của tam giác ABC   (đpcm )

Bài làm:

a) Ta có: \(\hept{\begin{cases}AB^2+AC^2=9^2+12^2=225\left(cm\right)\\BC^2=15^2=225\left(cm\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)

Áp dụng định lý Pytago đảo => Tam giác ABC vuông tại A

=> đpcm

b) Xét 2 tam giác: \(\Delta MHC\)và \(\Delta MKB\)có:

\(\hept{\begin{cases}MK=MH\left(gt\right)\\\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\\MB=MC\left(gt\right)\end{cases}}\)(đối đỉnh)

=> \(\Delta MHC=\Delta MKB\left(c.g.c\right)\)

=> đpcm

c) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông

=> \(AM=\frac{1}{2}BC=MC\)

=> Tam giác AMC cân tại M, mà MH là đường cao xuất phát từ đỉnh trong tam giác cân AMC

=> MH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác AMC

=> H là trung điểm AC

=> BH là đường trung tuyến của tam giác ABC

Mà AG,BH là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm tam giác ABC

=> đpcm

Học tốt!!!!

Ở đoạn xét 2 tam giác mình viết bị lỗi, bạn viết thêm cho mình MB = MC (giả thiết) nhé!