Xét ΔABC có 

BD là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{4}{5}\)

hay \(AB=\dfrac{4}{5}BC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2\cdot\dfrac{9}{25}=9^2=81\)

\(\Leftrightarrow BC^2=225\)

hay BC=15cm

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{4}{5}BC=12\left(cm\right)\)

Ta có:     \(AC=AD+DC\)

         ⇔  \(AC=4+5\)

         ⇔  \(AC=9\) ( cm )

Áp dụng hệ thức lượng giác vào △ ABC, ta có: 

\(AB^2=AD.AC\)  ⇔  \(AB^2=4.9=36\)   ⇔   \(AB=6\)  ( cm )

Áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông ABC ta có:

       \(BC^2=AB^2+AC^2\)

⇔   \(BC^2=6^2+9^2\)

⇔   \(BC^2=117\)

⇒     \(BC=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\)

 BÀI 1:

a)

·         Trong ∆ ABC, có:     AB²= BC.BH

                           Hay BC= =

·         Xét ∆ ABC vuông tại A, có:

    AB²= BH²+AH²

↔AH²= AB² – BH²

↔AH= =4 (cm)

b)

·         Ta có: HC=BC-BH

      àHC= 8.3 - 3= 5.3 (cm)

·         Trong ∆ AHC, có:    

·                                         

Bài 1:

a)  Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{AB^2}{BH}\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\frac{5^2}{3}=\frac{25}{3}\)

Áp dụng Pytago ta có:

     \(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow\)\(AH=4\)

b)  \(HC=BC-BH=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{\left(\frac{16}{3}\right)^2}=\frac{25}{256}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{HE}=\frac{5}{16}\)

\(\Rightarrow\)\(HE=\frac{16}{5}\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=\frac{9}{5}=1,8$ (cm) 

$CH=BC-BH=5-1,8=3,2$ (cm)

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BD+CD}=\frac{3}{7}$

Hay $\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}\Rightarrow BD=\frac{3}{7}.BC=\frac{3}{7}.5=\frac{15}{7}$ (cm)

$CD=BC-BD=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$ (cm)

$HD=BD-BH=\frac{15}{7}-1,8=\frac{12}{35}$ (cm)

Hình vẽ:

a) Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(5^2=3^2+4^2\right)\)

nên ΔABC vuông tại A(Định lí Pytago đảo)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(\widehat{C}\simeq53^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=37^0\)

b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{4}=\dfrac{CD}{3}\)

mà BD+CD=5

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{4}=\dfrac{CD}{3}=\dfrac{BD+CD}{4+3}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{20}{7}cm;CD=\dfrac{15}{7}cm\)

D là điểm nào em?

???? AD,BD,CD???

có ý gì đây

ΔABC vuông tại A

=>AB^2+AC^2=BC^2

=>BC=căn 3^2+4^2=5cm

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC; BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2

=>AH=3*4/5=2,4cm; BH=3^2/5=1,8cm; CH=4^2/5=3,2cm

ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=5/7

=>BD=15/7cm; CD=20/7cm

Ta có

\(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow BC=2AB\)

\(\Rightarrow\sin\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{ACB}=30^o\)

Ta có

\(AC=AD+CD=4+8=12\)

\(AB^2=BC^2-AC^2=4AB^2-12^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow AB=4\sqrt{3}\Rightarrow BC=2AB=8\sqrt{3}\)

\(AB^2=BH.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{48}{8\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)

Xét tg vuông  ABC có

\(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}=90^o-30^o=60^o\)

Ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^o\)

Xét tg vuông HKB và tg vuông ABC có

\(\widehat{CBD}=\widehat{ACB}=30^o\)

=> tg HKB đồng dạng với tg ABC

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{AB}=\dfrac{BH}{AC}\Rightarrow\dfrac{HK}{4\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{12}\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{4\sqrt{3}.2\sqrt{3}}{12}=2\)

Xét tg vuông AHC có

\(AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.12=6\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow AK=AH-HK=6-2=4\)