Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BD^2-AD^2=\left(4\sqrt{10}\right)^2-4^2=144\)

hay AB=12(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có

\(\tan\widehat{ABD}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\)

hay \(\widehat{ABD}\simeq18^026'\)

mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ABD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

nên \(\widehat{ABC}\simeq36^052'\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(AC=AB\cdot\tan\widehat{ABC}\)

\(\Leftrightarrow AC=12\cdot\tan36^052'\simeq9\)(cm)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot9}{2}=\dfrac{108}{2}=54\left(cm^2\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AD^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BD^2-AD^2=\left(\sqrt{10}\right)^2-1^2=9\)

hay AB=3(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có

\(\sin\widehat{ABD}=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

nên \(\widehat{ABD}\simeq18^026'\)

mà \(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ABD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

nên \(\widehat{ABC}\simeq2\cdot18^026'=36^052'\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB=BC\cdot\cos\widehat{ABC}\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{AB}{\cos\widehat{ABC}}=\dfrac{3}{\cos36^052'}\)

hay \(BC\simeq3.75cm\)

Vậy: \(BC\simeq3.75cm\)

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)

\(BC=BD+CD=10+20=30\left(cm\right)\)

Theo định lí Pythagore ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow30^2=\left(\frac{1}{2}AC\right)^2+AC^2=\frac{5}{4}AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC=12\sqrt{5}\left(cm\right)\Rightarrow AB=6\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12\sqrt{5}.6\sqrt{5}}{30}=12\left(cm\right)\)

\(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{\left(6\sqrt{5}\right)^2}{30}=6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HD=BD-BH=10-6=4\left(cm\right)\)

không mở được link nhé khánh hà

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.BC$

$\Rightarrow \frac{BH}{CH}=(\frac{AB}{AC})^2=\frac{9}{16}$

Mà $BH+CH=BC=BD+CD=15+20=35$ (cm)

Do đó:

$BH=35:(9+16).9=12,6$ (cm)

$CH=35:(9+16).16=22,4$ (cm)

Hình vẽ:

Xét ΔABC có 

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{9}{16}\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{9}{16}HC\)

Ta có: \(HB+HC=BC\)

\(\Leftrightarrow HC\cdot\dfrac{25}{16}=35\)

\(\Leftrightarrow HC=22.4\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HB=12.6\left(cm\right)\)