Sửa đề: HM vuông góc với AB

a)

Sửa đề: Chứng minh \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được: 

\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được: 

\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)(đpcm)

a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

b: Giả sử AB<AC

Đặt HB=x; HC=y

Theo đề, ta có: x+y=15 và xy=36

=>x=3 và y=12

=>AB=căn 3*15=3căn 5cm; AC=căn 12*15=6*căn 5(cm)

AM=AH^2/AB=6^2/3*căn 5=12/căn 5(cm)

AN=AH^2/AC=6^2/6căn 5=6/căn 5(cm)

S AMHN=AM*AN=72/5cm²

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, O là trung điểm của AM. Tia BO cắt AC tại D, CO cắt AB tại E. Cho biết diện tích tam giác ADE=a^2

Tính diện tích tam giác ABC

a: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AHKC có

I là trung điểm chung của AK và HC

=>AHKC là hình bình hành

=>AC//KH

c: Ta có: AC//HK

AC//HM

HK,HM có điểm chung là H

Do đó: K,H,M thẳng hàng

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>\(\widehat{NAH}=\widehat{NMH}\)

mà \(\widehat{NAH}=\widehat{CKH}\)(AHKC là hình bình hành)

nên \(\widehat{NMH}=\widehat{CKH}\)

Xét tứ giác MNCK có CN//MK

nên MNCK là hình thang

Hình thang MNCK có \(\widehat{CKM}=\widehat{NMK}\)

nên MNCK là hình thang cân

d: Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔCAH có

CO,AI là các đường trung tuyến

CO cắt AI tại D

Do đó: D là trọng tâm của ΔCAH

=>\(AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AK=\dfrac{1}{3}AK\)

=>AK=3AD

Xét tứ giác AMHN có
góc A = 90°
Góc M =90° ( vì HM vông góc AB)
Góc N=80°( vì HN vuông góc với AC)
=> Tứ giác AMHN là hình chữ nhật
=> AH=MN

a: \(CB=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

AH=12*16/20=9,6cm

Xet ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/3=CD/4=(BD+CD)/(3+4)=20/7

=>BD=60/7cm; CD=80/7cm

b: Sửa đề: AB,AC

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

AM=AH^2/AB=9,6^2/12=7,68(cm)

AN=AH^2/AC=9,6^2/16=5,76(cm)

\(S_{AMHN}=7.68\cdot5.76=44.2368\left(cm^2\right)\)