Hình vẽ chung cho cả ba bài.

Bài 1:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{1}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=144\Rightarrow AH=12\)

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\)

\(CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=9+16=25\)

Bài 2,3 bạn nhìn hình vẽ và sử dụng hệ thức lượng để tính tiếp như bài 1.

Bài 2:                                                    Bài giải

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH\cdot CH\text{ }\Rightarrow\text{ }x\left(25-x\right)=144\text{ }\Rightarrow\text{ }x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\text{ }\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\left(tm\right)\)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm \(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

+ AH² =BH.CH

=>CH=\(\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{12^2}{9}=16\left(cm\right)\)

=>BC=BH+CH=9+16=25(cm)

+ AB²=BH.BC

=>AB=\(\sqrt{BH.BC}=\sqrt{9.25}=15\left(cm\right)\)

+AC²=CH.BC

=>AC=\(\sqrt{CH.BC}=\sqrt{16.25}=20\left(cm\right)\)

a, S_{tam giác ABC}=\(\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{15.20}{2}=150\left(cm^2\right)\)

a.     + CH = 10 - 3.6 = 6.4 (cm)

     - Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào ΔABC ta có :

         + \(AH^2=BH.CH\)

      \(\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{3,6.6,4}=4.8\) (cm)

         + \(AB^2=BC.BH\)

      \(\Rightarrow AB=\sqrt{BC.BH}=\sqrt{10.3,6}=6\) (cm)

       + \(AC^2=BC.CH\)

      \(\Rightarrow AC=\sqrt{BC.CH}=\sqrt{10.6,4}=8\) (cm)

b.       \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

c.       \(P_{ABC}=AB+AC+BC=6+8+10=24\left(cm\right)\)

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$144=AH^2=BH.HC(1)$

$BH+CH=BC=25(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng định lý Viet đảo thì $BH, CH$ là nghiệm của pt: $x^2-25x+144=0$

$\Rightarrow BH, CH= (16,9)$

Mà $AB< AC$ nên $BH< CH$

$\Rightarrow BH=9; CH=16$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm) 

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$ (cm)

b. 

$AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}$ (cm) 

$\sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{AM}=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 74^0$

c. 

$HM=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ:

\(CH=\dfrac{AH^2}{HB}=\dfrac{3.6^2}{2.7}=4.8\left(cm\right)\)

\(BC=4.8+2.7=7.5\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{2.7\cdot7.5}=4.5\left(cm\right)\)

AC=6(cm)

a: Đặt BH=x; CH=y(x<y)

Theo đề, ta có: xy=12^2=144 và x+y=48

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

x^2-48x+144=0

=>x=24-12 căn 3 hoặc x=24+12căn 3

=>BH=24-12căn 3 và CH=24+12căn 3

\(AB=\sqrt{\left(24-12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq12,42\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(24+12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq46,36\left(cm\right)\)

b: AM=BC/2=24cm

sin AMH=AH/AM=12/24=1/2

=>góc AMH=30 độ

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{4.8^2}{3.6}=6.4\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=36\\AC^2=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=6\left(cm\right)\\AC=8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)