a) Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm AC và M cũng là trung điểm BD nên ABCD là hình bình hành (dhnb)

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BA // CD và BA = CD.

Vậy nên AN cũng song song và bằng CD. Suy ra ANDC là hình bình hành.

Lại có \(\widehat{NAC}=90^o\) nên ANDC là hình chữ nhật.

c) Ta chứng minh bổ đề:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh NA = NC.

Chứng minh:

Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang). Vậy nên MF = NC (1)

Xét hai tam giác BMF và MAN, có: \(\widehat{MBF}=\widehat{AMN}\)  (hai góc đồng vị), BM = AM, \(\widehat{BMF}=\widehat{MAN}\) (hai góc đồng vị). 

\(\Rightarrow\Delta BMF=\Delta MAN\left(g-c-g\right)\Rightarrow MF=AN\left(2\right)\) 

Từ (1) và (2) suy ra NA = NC. Bổ đề được chứng minh.

Áp dụng bổ đề vào các tam giác AKC và BNI ta có: KI = IC; KI = BK

Vậy nên KC = 2BK.

d) Xét tam giác EBA và MNA có:

\(\widehat{EBA}=\widehat{MNA}\) (Hai góc so le trong)

AB chung 

\(\widehat{BAE}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EBA=\Delta MNA\) (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

\(\Rightarrow EB=MN\)

Vậy thì tứ giác EBMN là hình bình hành. Lại có \(EM\perp BN\) nên EBMN là hình thoi.

Để EBMN là hình vuông thì BN = EM hay AB = AM.

Do AC = 2AM nên tam giác ABC phải thỏa mãn: AC = 2AB thì EBMN là hình vuông.

Giải: Xét t/giác ABE và t/giác ANM

có: AB = BN (gt)

 \(\widehat{B_1}=\widehat{N_1}\) (slt của AE // MN)

  \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (đối đỉnh)

=> t/giác ABE = t/giác ANM (g.c.g)

=> EA = AM (2 cạnh t/ứng)

Xét tứ giác EBMN có AB = AN (gt)

       EA = MA (cmt)

=> tứ giác EBMN là hình bình hành

có BN \(\perp\)EM (gt)

=> EBMN là hình thoi

Để hình thoi EBMN là hình vuông

<=> EM = BN <=> AB = AM

do AM = MC = 1/2AC

<=> AB = 1/2AC 

<=> AC = 2AB

Vậy để tứ giác EBMN là hình vuông <=> t/giác ABC có AC = 2AB

a)  IM // AC, AB \(\perp AC\)

\(\Rightarrow\)IM \(\perp AB\)  \(\Rightarrow\)\(\widehat{AMI}=90^0\)

IN // AB,  AB \(\perp AC\)

\(\Rightarrow\)IN \(\perp AC\)    \(\Rightarrow\)\(\widehat{ANI}=90^0\)

Tứ giác  AMIN  có:  \(\widehat{AMI}=\widehat{MAN}=\widehat{ANI}=90^0\)

nên  AMIN  là hình chữ nhật

b)  Hình chữ nhật  AMIN là hình vuông 

\(\Leftrightarrow\)AI  là phân giác  \(\widehat{BAC}\)

mà  AI  đồng thời la trung tuyến của  \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABC\)vuông cân tại  A

bạn ơi. giải dc câu c ko ạ

a: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

Do đó: ABCD là hìnhbình hành

b: Xét tứ giác ANDC có

AN//DC

AN=DC

góc CAN=90 độ

Do đó: ANDC là hình chữ nhật

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành