1. Cho ΔABC vuông tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường thẳng BC kẻ các tia Bx, Cy cùng vuông góc với BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM ( M thuộc đoạn BC ) cắt Bx tại E và Cy tại F. 

Chứng minh rằng:

a) ΔAFC đồng dạng với ΔAMB.

b) ΔFME là tam giác vuông.

c) Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để diện tích ΔMEF đạt min?

2. Cho hình bình hành ABCD có ^A < 90^o, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi N là trung điểm AO; M là trung điểm BO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K.

Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=4\)

b) \(BE+AK\) ≥ \(BC\)

Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (C khác A và B). Gọi K là trung điểm của BC. Qua B vẽ tia tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn tâm O (tia Bx và C nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB), Bx cắt tia OK tại D. a) Chứng minh ODC = ODB, từ đó suy ra DC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. b) Chứng minh AC.OD = 2R2 c) Vẽ CH vuông góc với AB tại H, gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt tia BI tại E. Chứng minh E, C, D thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), dựng $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $M$, $N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm $H$ trên $AB$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $D$. Trên nửa mặt phẳng bờ $CD$ chứa điểm $A$ vẽ nửa đường tròn đường kính $CD$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt nửa đường tròn trên tại điểm $E$.

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}\).

c) Chứng minh $DM.DN = DB.DC$.

1. Cho đường tròn (O), đường kính AB, dây AM. Kéo dài AM một đoạn MC = AM
a) Chứng minh AB = BC
b) Gọi N là trung điểm BC. Chứng minh tứ giác BOMN là hình thoi.
2. Cho đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm M, vẽ tiếp tuyến
MC với đường tròn (C là tiếp điểm).
a) Chứng minh OM // BC
b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc AB cắt BC tại N. Chứng minh BOMN là hình bình hành
c) Chứng minh COMN là hình thang cân
3.Cho đường tròn (O), đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm M, vẽ tiếp tuyến
MC với đường tròn (C là tiếp điểm).Kẻ CH vuông góc với AB tại H
a) Chứng minh CA là phân giác góc HCM
b) Kẻ CH vuông góc Ax tại K, gọi I là giao điểm của AC và HK. Chứng minh tam giác AIO vuông
c) Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.

b) Vẽ đường tròn tâm (O') nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB ở K. Chứng minh SAMB= AK.KB