Dễ thấy:\(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OB}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OK}{CK}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

sao dễ thấy vậy bạn mình k hiểu

Hình vẽ bạn thay điểm P thành điểm K nhé.

Ta có:

\(\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}BC.OM}{\frac{1}{2}BC.AM}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}=\frac{OM}{AM}.\)

Lại có:

\(\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}ON.CM}{\frac{1}{2}BN.CM}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}ON}{\frac{1}{2}BN}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\frac{ON}{BN}.\)

Có:

\(\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}OK.AB}{\frac{1}{2}CK.AB}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AOB}=\frac{1}{2}OK}{S_{ABC}=\frac{1}{2}CK}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{OK}{CK}.\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=1\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

 Gọi T là giao điểm của DE và AB. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt DA, DT lần lượt tại U, V.

 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC, cát tuyến TED, ta có:

 \(\dfrac{TA}{TB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)

 Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với AD, BE, CF đồng quy tại O, ta có:

 \(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\Leftrightarrow\dfrac{TA+FA}{TB}=\dfrac{2FA}{TB}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)

Mà theo định lý Thales:

 \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{FV}{BD}\) và \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FU}{BD}\)

 Từ đó suy ra \(\dfrac{FV}{BD}=\dfrac{2FU}{BD}\) \(\Rightarrow FV=2FU\) hay U là trung điểm FV.

 Áp dụng bổ đề hình thang, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm MN hay \(OM=ON\) (đpcm).

 (Bổ đề hình thang phát biểu như sau: Trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm của 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của một hình thang thì thẳng hàng. Chứng minh khá dễ, mình nhường lại cho bạn tự tìm hiểu nhé.)

Chỗ biến đổi này mình làm lại nhé:

Cần chứng minh: \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)

\(\Leftrightarrow TF.AB=2AF.TB\)

\(\Leftrightarrow\left(TA+AF\right)\left(AF+BF\right)=2AF\left(TA+AF+BF\right)\)

\(\Leftrightarrow TA.AF+TA.BF+AF^2+AF.BF=2TA.AF+2AF^2+2AF.BF\)

\(\Leftrightarrow TA.AF+AF^2+AF.FB=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow AF\left(TA+AF+FB\right)=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow AF.TB=TA.BF\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\) (luôn đúng)

Vậy \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)

Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BO, CO kéo dài tại E và F

Theo định lý Thales ta có: \(\frac{BP}{PC}=\frac{AE}{AF},\frac{QC}{QA}=\frac{AF}{BC},\frac{BC}{AE}=\frac{RA}{RB}\)

Nhân 3 đẳng thức vs nhau ta đc: 

\(\frac{BP}{PC}.\frac{QC}{QA}.\frac{RA}{RB}=\frac{AE}{AF}.\frac{AF}{BC}.\frac{BC}{AE}=1\left(DPCM\right)\)

DAY LA HINH 

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của Như - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath