Đáp án A

gọi (α) là mặt phẳng qua C vuông góc với BD
tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a => BC = a√2
tam giác ACD vuông cân ở C và AC = a => AD = a√2
BD^2 = CD^2 + BC^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2 => BD = a√3
BD L (α) => BD L CF
DC L (ABC) => DC L BC
ta có:
CD^2 = DF.BD => DF = CD^2/BD = a^2/(a√3) = a/√3
BD L (α) => BD L EF
DC L (ABC) và AB L AC => AB L AD ( định lý 3 đường vuông góc)
=> ΔDEF ~ Δ DBA => DF/DA = DE/BD
=> DE = DF.BD/DA = (a/√3)(a√3)/(a√2) = a/√2
V = V(DABC) = S(ABC).CD/3 = (a^2/2).a/3 = a^3/6
V1 = V(CDEF) = V(DCEF)
ta có:
V1/V = (DC/DC).(DE/DA).(DF/DB) = 1.[(a/√2)/(a√2)].[(a/√3)/(a√3)] = 1/6
=> V1 = V/6 = (a^3/36)

Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Ta suy ra d’ // d. Do đó d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.

Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 ° thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc ∠ SCA. Thực vậy vì SA ⊥ (ABC) mà AC ⊥ CB nên ta có SC ⊥ CB. Do đó ∠SCA = 30 ° .

Vì AB = 2a nên ta có AC = a 2 ta suy ra

Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi  ∠ SCA = 30 °

Ta có r = SB/2 = OA = OB = OC = OS, trong đó SB 2 = SA 2 + AB 2

Vậy

Do đó 

Ta suy ra 

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(BC=2AH=2a\)

Từ đó \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}a.2a=a^2\)

Vì \(SA\perp\left(ABC\right);AH\perp BC\) suy ra \(SH\perp BC\)

Do đó : \(\left(\left(SBC\right),\right)\left(ABC\right)=\widehat{SHA}=60^0\)

Suy ra \(SA=AH.\tan60^0=a\sqrt{3}\)

Vậy \(V_{SABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)

Đáp án đúng : C

 

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Đáp án C