Câu hỏi của Lưu Đức Mạnh

Question

Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MD vuông góc với BC tại D, ME vuông góc với AC tại E, MF vuông góc với AB tại F.

Đặt MD = x, ME = y, MF = z

a) Chứng minh rằng x + y + z không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b) Xác định vị trí của điểm M để x² + y² + z² đạt giá trị nhỏ nhất.

ღᏠᎮღ🅼🅸🅽🅷ঔ🅽🅶ụ🆈ঌ__[ᴅʀᴇᴀм тᴇᴀм]__ · Accepted Answer

BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA Giải Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có: a) Ta có Stam giác BMC+Stam giác CMA+Stam giác AMB =Stam giác ABC <=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah <=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M b) x2+y2$\ge$2xy ; y2+z2$\ge$2yz ; z2+x2$\ge$2zx =>2.(x2+y2+z2) $\ge$2xy+2xz+2yz =>3.(x2+y2+z2) $\ge$x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz =>x2+y2+z2 $\ge$(x+y+z)2/3=h2/3 không đổi Dấu "=" xảy ra khi x=y=z Vậy để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABCCâu trả lời: BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA Giải Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có: a) Ta có Stam giác BMC+Stam giác CMA+Stam giác AMB =Stam giác ABC <=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah <=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M b) x2+y2$\ge$2xy ; y2+z2$\ge$2yz ; z2+x2$\ge$2zx =>2.(x2+y2+z2) $\ge$2xy+2xz+2yz =>3.(x2+y2+z2) $\ge$x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz =>x2+y2+z2 $\ge$(x+y+z)2/3=h2/3 không đổi Dấu "=" xảy ra khi x=y=z Vậy để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC

Nguyễn Thiên Kim · Answer

$a.$Ta có:    $S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}$$\Rightarrow$$x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}$                      $S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}$$\Rightarrow$$z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}$                      $S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}$$\Rightarrow$$y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}$   mà $\Delta ABC$ đều nên AB = BC = CAsuy ra $x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}$suy ra đpcmCâu trả lời: $a.$Ta có:    $S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}$$\Rightarrow$$x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}$                      $S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}$$\Rightarrow$$z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}$                      $S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}$$\Rightarrow$$y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}$   mà $\Delta ABC$ đều nên AB = BC = CAsuy ra $x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}$suy ra đpcm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP