b) Xét tứ giác OHEK có 

\(\widehat{KOH}=90^0\left(gt\right)\)

\(\widehat{EHO}=90^0\left(EH\perp OA\right)\)

\(\widehat{EKO}=90^0\left(EK\perp NO\right)\)

Do đó: OHEK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Hình chữ nhật OHEK có đường chéo OE là tia phân giác của \(\widehat{KOH}\)(gt)

nên OHEK là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOAN vuông tại O, ta được:

\(AN^2=OA^2+ON^2\)

\(\Leftrightarrow AN^2=3^2+4^2=25\)

hay AN=5(cm)

Xét ΔOAN có OE là đường phân giác ứng với cạnh AN(gt)

nên \(\dfrac{AE}{OA}=\dfrac{NE}{NO}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AE}{3}=\dfrac{NE}{4}\)

mà AE+NE=AN=5cm(E nằm giữa A và N)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AE}{3}=\dfrac{NE}{4}=\dfrac{AE+NE}{3+4}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{3}=\dfrac{5}{7}\\\dfrac{NE}{4}=\dfrac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=\dfrac{15}{7}cm\\NE=\dfrac{20}{7}cm\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(AE=\dfrac{15}{7}cm;NE=\dfrac{20}{7}cm\)

1: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{C}+47^0=90^0\)

=>\(\widehat{C}=43^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(BC=\dfrac{10}{sin43}\simeq14,66\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}\simeq10,72\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot CB}=\dfrac{BH}{CH}\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BD\cdot BA=BH^2\)

=>\(BD=\dfrac{BH^2}{AB}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CE\cdot CA=CH^2\)

=>\(CE=\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

mình chịu thoiii

Gì nhiều vậy???

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=BA^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot\sqrt{41}=5\cdot4\\BH\cdot\sqrt{41}=5^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{20\sqrt{41}}{41}\left(cm\right)\\BH=\dfrac{25\sqrt{41}}{41}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔABC có AE là phân giác

nên \(\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{CE}{AC}\)

=>\(\dfrac{BE}{5}=\dfrac{CE}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BE}{5}=\dfrac{CE}{4}=\dfrac{BE+CE}{5+4}=\dfrac{\sqrt{61}}{9}\)

=>\(BE=\dfrac{5}{9}\sqrt{61}\left(cm\right);CE=\dfrac{4}{9}\sqrt{61}\left(cm\right)\)

c: Xét tứ giác AMEN có

\(\widehat{AME}=\widehat{ANE}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMEN là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMEN có AE là phân giác của góc MAN

nên AMEN là hình vuông

Cảm ơn nhìuuuuuu☺️