Tam giác \(BKC\)vuông tại \(K\)có \(M\)là trung điểm của cạnh huyền \(BC\)nên \(KM=\frac{1}{2}BC\).

Tương tự ta cũng có \(HM=\frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(KM=HM\)

\(\Rightarrow\Delta MKH\)cân tại \(M\).

Kẻ \(MN\)vuông góc với \(DE\).

Suy ra \(MN//BD//CE\)mà \(M\)là trung điểm của \(BC\)nên \(MN\)là đường trung bình của hình thang \(BDEC\).

suy ra \(N\)là trung điểm của \(DE\Rightarrow DN=NE\)(1).

Mà tam giác \(MKH\)cân tại \(M\)nên \(MN\)là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến suy ra \(KN=HN\)(2)

(1) (2) suy ra \(DN-KN=EN-HN\Leftrightarrow DK=HE\).

Ta có đpcm.

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA
N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

=>MN=BE và MN//BE

=>BMNE là hình bình hành

b: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=AM

=>M nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AC/2=AN

=>N nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực của AH

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

E là trung điểm của BC

Do đó: ME là đường trung bình

=>ME=AC/2

mà HN=AC/2

nên ME=HN

Xét tứ giác MNEH có MN//EH

nên MNEH là hình thang

mà ME=NH

nên MNEH là hình thang cân

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên KM=BC/2(1)

Ta có: ΔBHC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=BC/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MH=MK

hay ΔMHK cân tại M

b: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE

a) Xét ΔBCK vuông tại K có KM là trung tuyến ⟹KM=1/2BC

Xét ΔBCH vuông tại K có HM là trung tuyến ⟹HM=1/2BC

⟹KM=HM⟹ΔHKM cân tại M

b) Kẻ MN⊥DE(N∈DE)

Ta có: BD⊥DE;CE⊥DE⟹BD//CE

⟹BDEC là hình thang

Xét hình thang BDEC có: MN⊥DE⟹MN//CE;BM=CM(gt)⟹DN=EN=EN

Mặt khác, ΔKHMΔKHM là tam giác cân có MN⊥DE⟹MN

Trừ theo vế (1) và (2) ta có: DN−KN=EN−HN⟹DK=HE

Bài 1:

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên KM=BC/2(1)

Ta có: ΔBHC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=BC/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MH=MK

hay ΔMHK cân tại M

b: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE

a: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC

nên MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2

=>MN//BE và MN=BE

=>BMNE là hình bình hành

b: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=AM(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AN(2)

Từ (1)và (2) suy ra AH là đường trung trực của MN

Xét ΔABC có 

E,M lần lượt là trung điểm của CB và BA

nên ME là đường trung bình

=>ME=CA/2=NH

Xét tứ giác MNEH có MN//EH

nên MNEH là hình thang

mà ME=NH

nên MNEH là hình thang cân

a: Xét tứ giác BDEC có góc BDE=góc CED=90 độ

nen BDEC là hình thang vuông

c: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE

Gọi M là trung điểm của BC,I là trung điểm của HK.

BH vuông góc với AC (gt) nên BHC=90 độ 

Tam giác BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC suy ra: HM=1/2 BC

Tương tự:KM=1/2 BC

Tam giác HKM cân tại M(do HM=KM=1/2 BC) có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh KH nên MI đồng thời là đường cao(t/c tam giác cân)

Do đó: MI vuông góc với KH hay MI vuông góc với DE.

BD và CE cùng vuông góc với HK (gt) nên BD song song với CE suy ra: BDEC là hình thang.

Hình thang BDCE có M là trung điểm của BC và MI song song với BD và CE

Do đó: I là trung điểm của DE 

Ta có: IH=IK và ID=IE

suy ra: ID -IK =IE -IH 

Vậy DK=HE