a) Xét ΔABC và ΔCDM có 

\(\widehat{ABC}=\widehat{CDM}\)(hai góc so le trong, MD//AB)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔCDM(g-g)

phần b

Tam giác ABM có :

M là trung điểm của AB nên AM = MB ( 1 )

N là trung điểm của AC nên AN = NC ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MN // BC

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}BC\Rightarrow MN=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Vì BM = MN = NC ( gt )

\(\Rightarrow BM=3\left(cm\right)\)P/s hình như bài này mình làm rồi thì phải 

3 cm

ngắn gọn dễ hiểu nha

=)))))))))))))

Chỉ cần giúp mình câu c thôi ạ.
 Mình cảm ơn

a) Ta có: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1.5}{6}=\dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AC-CN}{AC}=\dfrac{4-3}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Do đó: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{4}\right)\)

Xét ΔABC có 

\(M\in AB\)(gt)

\(N\in AC\)(gt)

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{1}{4}\right)\)(cmt)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

Lời giải:

a) Ta có:

{ME∥ACAB⊥AC⇒ME⊥AB⇒∠MEA=900{ME∥ACAB⊥AC⇒ME⊥AB⇒∠MEA=900

{MF∥ABAB⊥AC⇒MF⊥AC⇒∠MFA=900{MF∥ABAB⊥AC⇒MF⊥AC⇒∠MFA=900

Tam giác ABCABC vuông tại AA nên ∠EAF=900∠EAF=900

Tứ giác AFMEAFME có 3 góc ∠MEA=∠MFA=∠EAF=900∠MEA=∠MFA=∠EAF=900 nên là hình chữ nhật.

b)

Vì ME∥AC,MF∥ABME∥AC,MF∥AB nên áp dụng định lý Thales ta có:

MEAC=BMBC;MFAB=CMBCMEAC=BMBC;MFAB=CMBC

Chia hai vế: ⇒MEMF.ABAC=BMCM⇒MEMF.ABAC=BMCM

Vì AFMEAFME là hình chữ nhật (cmt) nên để nó là hình vuông cần có ME=MFME=MF

⇔MEMF=1⇔ABAC=BMCM⇔MEMF=1⇔ABAC=BMCM

⇔ABAB+AC=BMBM+CM=BMBC⇔ABAB+AC=BMBM+CM=BMBC

Vậy điểm M nằm trên BC sao cho BMBC=ABAB+ACBMBC=ABAB+AC thì AFMEAFME là hình vuông.

a. Do ME // AC nên \(\frac{ME}{AC}=\frac{BM}{BC}\); MF // AB nên \(\frac{MF}{AB}=\frac{MC}{BC}\)

Từ đó suy ra \(\frac{ME}{AC}+\frac{MF}{AB}=\frac{BM+MC}{BC}=1\) không đổi.

b. Gọi \(\frac{ME}{AC}=t\Rightarrow\frac{MF}{AB}=1-t\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\frac{b^2}{\left(1-t\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{t}=\frac{b}{1-t}\Rightarrow a\left(1-t\right)=bt\Rightarrow t=\frac{a}{a+b}\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{a^2}{t^2}=\left(a+b\right)^2.\)

c. \(S_{AEMF}=S_{ABC}-S_{BME}-S_{CMF}=\left(a+b\right)^2-a^2-b^2\)

\(=2ab\le a^2+b^2\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b, tức là M là trung điểm BC.