\(\Leftrightarrow2x^4-10x^3+\left(m+12\right)x^2-4mx-m^2=0\) có 3 nghiệm

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+m\right)\left(2x^2-6x-m\right)=0\) có 3 nghiệm

Xét 2 pt: \(x^2-2x+m=0\) (1) và \(2x^2-6x-m=0\) (2)

Để pt đã cho có 3 nghiệm thì:

TH1: (1) có 2 nghiệm pb và (2) có nghiệm kép khác 2 nghiệm của (1)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=1-m>0\\\Delta'_2=9+2m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-\frac{9}{2}\)

Thay \(m=-\frac{9}{2}\) vào (1) thấy 2 nghiệm của (1) thỏa mãn khác nghiệm của (2)

TH2: (1) có nghiệm kép và (2) có 2 nghiệm pb khác nghiệm của (1)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m=0\\9+2m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

Thay \(m=1\) vào (2) ta cũng thấy thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=1-m>0\\\Delta'_2=9+2m>0\\\text{(1) và (2) có đúng 1 nghiệm chung}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\frac{9}{2}< m< 1\\\text{(1) và (2) có đúng 1 nghiệm chung}\end{matrix}\right.\)

Gọi \(x_0\) là nghiệm chung của (1) và (2)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^2-2x_0+m=0\\2x_0^2-6x_0-m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3x_0^2-8x_0=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=\frac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

- Với \(x_0=0\Rightarrow m=0\)

- Với \(x_0=\frac{8}{3}\Rightarrow m=-\frac{16}{9}\)

Vậy \(m=\left\{-\frac{9}{2};1;0;-\frac{16}{9}\right\}\)

Có đúng 1 giá trị nguyên của m là \(m=1\) thỏa mãn thuộc (0;10)