Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét ΔCHA vuông tại H có \(sinA=\dfrac{CH}{CA}\)
=>\(CH=CA\cdot sinA\)
Xét ΔCHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{CH}{CB}\)
=>\(CH=CB\cdot sinB\)
=>\(CH=CB\cdot cosA\)
\(CA\cdot CB\cdot sinA\cdot cosA\)
\(=CH\cdot CH=CH^2\)
b: ΔACD vuông tại C
mà CI là đường trung tuyến
nên IA=IC=ID
Xét ΔIAO và ΔICO có
IA=IC
AO=CO
IO chung
Do đó: ΔIAO=ΔICO
=>\(\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^0\)
=>IC là tiếp tuyến của (O)
c: ΔIAO=ΔICO
=>\(\widehat{AOI}=\widehat{COI}\)
=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{IOC}\)
Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC và OK là phân giác của góc COB
=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{COK}\)
\(\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{IOC}+2\cdot\widehat{COK}=180^0\)
=>\(\widehat{IOC}+\widehat{COK}=90^0\)
=>\(\widehat{IOK}=90^0\)
Xét ΔIOK vuông tại O có OC là đường cao
nên \(CI\cdot CK=OC^2\)
=>\(AI\cdot BK=R^2\)
1) Xét đường tròn (O) có 2 điểm B và C nằm trên đường tròn, 2 tiếp tuyến tại B và C cắt tại A
=> AB=AC => \(\Delta\)ABC cân tại A (đpcm).
2) Xét tứ giác BIMK: ^MKB=^MIB=900 . => ^MKB+^MIB=1800 => Tứ giác BIMK nội tiếp đường tròn
Tương tự ta được tứ giác CHMI nội tiếp đường tròn.
3) Ta thấy: Tứ giác BIMK nội tiếp đường tròn => ^KBI + ^KMI =1800
hay ^ABC + ^KMI = 1800 (1)
Tương tự: ^ACB + ^IMH = 1800 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với ^ABC=^ACB (Do \(\Delta\)ABC cân tại A) => ^KMI=^IMH
Tứ giác CHMI nội tiếp => ^MIH=^MCH
Dễ thấy ^MCH=^MBC => ^MIH=^MBC (=^MBI). Mà ^MBI=^MKI (Tứ giác BIMK nt đường tròn)
=> ^MIH=^MKI
Xét \(\Delta\)IMH và \(\Delta\)KMI: ^MIH=^MKI; ^IMH=^KMI (cmt) => \(\Delta\)IMH ~ \(\Delta\)KMI (g.g)
Suy ra \(\frac{MI}{MK}=\frac{MH}{MI}\Rightarrow MI^2=MH.MK\)(đpcm).
4) Ta có: ^KBM = ^MCB. Mà ^KBM=^KIM => ^KIM=^MCB
Tương tự: ^MIH=^MBC
Từ đó: ^KIM + ^MIH = ^MCB + ^MBC => ^PIQ = 1800 - ^BMC = 1800 - ^PMQ
=> ^PIQ + ^PMQ = 1800 => Tứ giác MPIQ nội tiếp đường tròn => ^MIQ=^MPQ hay ^MIH=^MPQ
Mà ^MIH = ^MKI = ^MBI (cmt) => ^MIH=^MBI.
Lại có 2 góc trên nằm ở vị trí đồng vị => PQ//BC. Mà MI vuông góc với BC
=> PQ vuông góc MI (đpcm).