Cho tứ  diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = a

a) Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau

b) Tính \(V_{ABCD}\) theo a, b, c

c) Chứng minh rằng tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của tứ diện ABCD trùng nhau. Tính bán kính của các mặt cầu đó theo a, b, c 

Cho hình tứ diện ABCD

a) Chứng minh hệ thức  : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)

b) Từ hệ thức hãy suy ra định lí : 

"Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện tứ ba cũng vuông góc với nhau"

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi 1 vuông góc với nhau. AB = 6a , AC = 7a và AD = 12a . Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD, BD.Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.

Cho hình trụ có bán kính R và đường cao R√2. Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.

a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện đều.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định 

II. Tự luận ( 5 điểm)

Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau:

BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM