a) Chú ý rằng I, J, K thẳng hàng vì chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (CBD) và (C'B'D')

b) 4. Vì 4 điểm không đồng phẳng sẽ tạo nên 1 tứ diện => có 4 mặt

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

+) Tam giác ACD có MJ là đường trung bình của tam giác nên :

+) Tam giác BCD có NI là đường trung bình của tam giác nên:

   Tương tự, ta có: 

   Mà theo giả thiết: AB = CD = a (4)

   Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra:

   Do đó, tứ giác MJNI là hình thoi ( tính chất hình thoi).

- Gọi O là giao điểm của MN và IJ, ta có:

- Xét ΔMIO vuông tại O, ta có:

a) Do ABCD là hình bình hành, nên AB // DC

=> AB // (Cz, Dt) (1)

Theo giả thiết Ax // Dt nên Ax // (Cz, Dt) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (Ax, By) // (Cz, Dt)

b) Mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song ( Ax, By), (Cz, Dt) theo hai giao tuyến là A’B’và C’D’ nên A’B’// C’D’. (3)

Chứng minh tương tự (Ax, Dt) song song với (By,Cz).Và mặt phẳng β cắt 2 mặt phẳng song song (Ax, Dt), (By, Cz) theo hai giao tuyến là A’D’và B’C’ nên A’D’// B’C’ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

=> J là trung điểm của A’C’ ( tính chất hình bình hành).

Tứ giác AA’C’C là hình thang vì có: AA’ // CC’ ( giả thiết). Lại có, I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’ nên IJ là đường trung bình của hình thang

=> IJ// AA’// CC’ ( đpcm).

c) Vì IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên IJ = 1/2(AA’ + CC’)

IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: IJ = 1/2(BB’ + DD’)

Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’

=> DD’ = AA’ + CC’ – BB’ = a + c – b

a) Xét (IJK) và (ACD)

có I thuộc (IJK) giao (ACD)

Trong (BCD) vẽ JK cắt CD tại E

=> E thuộc (IJK) giao (ACD) (đoạn này m ghi tắt :D)

Vậy IE là giao tuyến của (IJK) và (ACD)

Ta có E thuộc IE, IE là con của (IJK)

E thuộc CD

=> E là giao điểm của CD với (IJK)

b) Xét (ABD) và (IJK)

K thuộc (ABD) giao (IJK)

=> Kx là giao tuyến của (ABD) và (IJK)

mà AB // IJ

=> Kx // AB
Trong (ABD) vẽ Kx cắt AD tại F

=> F là giao điểm của AD và (IJK)

Ta có Kx // AB và Kx // IJ (cmt)

mà F thuộc Kx

=> KF // IJ

Ta có: \(I\) là trung điểm của \(SA\)

\(J\) là trung điểm của \(SB\)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\)

\( \Rightarrow IJ\parallel AB\)

\(E\) là trung điểm của \(SC\)

\(F\) là trung điểm của \(SD\)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của tam giác \(SC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow EF\parallel C{\rm{D}}\)

Mà \(AB\parallel C{\rm{D}}\).

Vậy \(IJ\parallel EF\parallel AB\parallel C{\rm{D}}\).

Vậy \(AD\) không song song với \(IJ\)

Chọn C.

Nhận xét

Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.

Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.

a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)

Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.

Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))

AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)

Lý luận tương tự, ta có:

BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))

AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)

Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).

b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ

Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ

Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)

c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.

Gọi M = JK ∩ CD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)

SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)

Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.

d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI

ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).

ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).

Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.

e) Theo chứng minh câu c.

f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).

Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).

Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).

a) Sai

Sửa lại: "Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b"

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Sai.