a: Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình

=>EF//AC và EF=AC/2

Xét ΔCDA có

G,H lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>GH là đường trung bình

=>GH//AC và GH=AC/2

=>EF//GH và EF=GH

Xét tứ giác EFGH có

EF//GH

EF=GH

=>EFGH là hình bình hành

b: Để EFGH là hình chữ nhật thì HE vuông góc EF

=>AC vuông góc BD

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC

Chứng minh EFGH là hình bình hành. Để EFGH là hình chữ nhật thì

Þ H E F ^ = 90 0 ⇒ H E ⊥   E F  

Þ AC ^BD.

* Ta có EF là đường trung bình của ∆ ABC

Suy ra: EF //AC và EF = 1/2 AC (1)

* Trong  ∆ ADC có HG là đường trung bình

Suy ra: HG // AC và HG = 1/2 AC (2)

Từ (l) và (2) suy ra EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt)

\(\Rightarrow\) EF là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow\) EF // AC và EF = \(\frac{1}{2}\) AC (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC (gt)

\(\Rightarrow\) HG là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow\) HG // AC và HG = \(\frac{1}{2}\) AC (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EF // HG và EF = HG

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFGH là hình bình hành

Tứ giác EFGH là hình bình hành. EF // AC, EF = \(\frac{1}{2}\) AC 

Ta còn có EH là đường trung bình của tam giác ABD

\(\Rightarrow\) EH // BD và EH = \(\frac{1}{2}\) BD

- Tứ giác EFGH là hình chữ nhật

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: 

\(\widehat{HEF}=90^o\)

\(\Leftrightarrow HE\perp EF\)

\(\Leftrightarrow EH\perp AC\)

\(\Leftrightarrow AC\perp BD\)

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật

- Tứ giác EFGH là hình thoi

\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình thoi

- Tứ giác EFGH là hình vuông

\(\Leftrightarrow\) Hình chữ nhật EFGH có: EF = EH \(\Leftrightarrow\) AC = BD

Vậy tứ giác ABCD cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và BD vuông góc và bằng nhau thì tứ giác EFGH là hình vuông

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình vuông khi và chỉ khi EFGH là hình chữ nhật đồng thời là hình thoi

⇔ AD ⊥ BC và AD = BC

Xét tam giác ABC:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Nên EF // BC, EF = 1/2 BC.

Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt)

Nên HG là đường trung bình của tam giác BDC

Nên HG // BC, HG = 1/2 BC.

Do đó EF //HG, EF = HG.

Tương tự EH // FG, EH = FG

Vậy EFGH là hình bình hành.

EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC

c