* Gọi ∠ A 1 ,  ∠ C 1 là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C,  ∠ A 2 ,  ∠ C 2 là góc ngoài tại đỉnh A và C.

Ta có:  ∠ A 1 +  ∠ A 2  = 180 0  (2 góc kề bù)

⇒  ∠ A 2 =  180 0  -  ∠ A 1

∠ C 1 +  ∠ C 2 =  180 0  (2 góc kề bù) ⇒  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ C 1

Suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2 =  180 0  -  ∠ A 1 + 180o -  ∠ C 1 =  360 0  – ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (1)

* Trong tứ giác ABCD ta có:

∠ A 1 +  ∠ B +  ∠ C 1  + ∠ D =  360 0  (tổng các góc của tứ giác)

⇒  ∠ B +  ∠ D =  360 0  - ( ∠ A 1  +  ∠ C 1 ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  ∠ A 2 +  ∠ C 2  =  ∠ B +  ∠ D

Ta có : B+D+BAD+BCD=360^o

mà BAD + DAE=180^o(DAE goc ngoài)

BCD + BCF=180^o(BCF góc ngoài)

nên BAD + DAE+BCD+BCF=360^o=B+D+BAD+BCD

nên DAE+BCF=B+D(ĐPCM)

gọi các góc trong của đỉnh A và C là ^A₁ và ^C₁

còn các góc ngoài của đỉnh A và C là ^A₂ và ^C₂

ta có ^A1 + ^A2 =180^o ( 2 góc kè bù )

và ^C1 +^C2 =180^o (2 góc kề bù )

=> ^A2 =180^o -^A1

và ^C2 =180^o -^C2

=> ^A2+^C2 = 360^o -^A1-^C1(1)

ta lại có ^A1+^B+^C1+^D =360^o (tổng 4 góc tứ giác )

=> ^B+^D = 360^o - ^A1-^C1(2)

từ (1) và(2) => ^B+^D = ^A2 +^C2 (cùng = 360⁰ -^a1 -^C1)

vậy.............

Ta có: A+B+C+D=360 độ

Gọi góc ngoài tại đỉnh A là A\(_{_2}\)

góc ngoài tại đỉnh C là C\(_{_2}\)

Ta có:(180độ-A\(_2\))+B+(180độ-C\(_2\))+D=360 độ

\(\Rightarrow\)360 độ - A\(_{_2}\)+B - C\(_{_2}\)+D=360 độ

\(\Rightarrow\) B+D = A\(_{_2}\)+ C\(_{_2}\)

Vậy tổng hai góc ngoài tại đỉnh A và C = tổng hai góc trong tại đỉnh B và D

Xét tứ giác ABCD có:

\(\widehat{A_2}+\widehat{B_2}+\widehat{C_1}+\widehat{D_1}=360^0\left(...\right)\)

Mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^0\left(KB\right),\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^0\left(KB\right)\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{C_2}=\widehat{B_2}+\widehat{D_1}\)

Vậy ...