Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2

=>2(xy+yz+xz)=0

=>xy+xz+yz=0

=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0

=>1/x+1/y+1/z=0

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)

Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y

Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.

=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)

=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.

Từ giả thiết:

\(29\le y^2+2xy+4x\le y^2+2xy+x^2+4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge25\Rightarrow x+y\ge5\)

Đặt \(P=2x+3y+\dfrac{4}{x}+\dfrac{18}{y}\)

\(\Rightarrow P=x+y+\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+2\left(y+\dfrac{9}{y}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+2.2\sqrt{\dfrac{9y}{y}}=21\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho bộ ba số thực không âm gồm có \(x;\)  \(x;\)  \(2y\), khi đó, ta có:

\(x+x+2y\ge3\sqrt[3]{2x^2y}\)

\(\Leftrightarrow\)   \(2\left(x+y\right)\ge3\sqrt[3]{2x^2y}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(6\ge3\sqrt[3]{2x^2y}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\ge\sqrt[3]{2x^2y}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(2^3\ge2x^2y\)  \(\Leftrightarrow\)  \(8\ge2x^2y\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x^2y\le\frac{8}{2}=4\)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x=2y}_{x+y=3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x=2}_{y=1}\)

bất đẳng thức này mình chưa học ạ. Đây là đề thi lớp 8. Nếu bạn có cách giải khác thì giải dùm mình. Tks 

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2

=>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2

=>2(xy+yz+xz)=0

=>xy+yz+xz=0

1/x+1/y+1/z

=(xz+yz+xy)/xyz

=0/xyz=0