Bài 2 :

a) \(P=x^2+y^2+xy+x+y\)

\(2P=2x^2+2y^2+2xy+2x+2y\)

\(2P=x^2+2xy+y^2+x^2+2x+1+y^2+2y+1-2\)

\(2P=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2}{2}\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-1\le-1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x+1=0\\y+1=0\end{cases}}\)

Mình nghĩ đề phải là tìm GTLN của \(P=x^2+y^2+xy+x-y\)hoặc đổi dấu x và y thì dấu "=" mới xảy ra đc

@ Phương ơi ! Cái dòng \(P=\)cuối ấy . Chỗ đấy là \(\ge-1\)em nhé!

\(x\) + 2y = 8

\(2y\)        = 8 - \(x\)

 y        = \(\dfrac{8-x}{2}\)

  y =  - \(\dfrac{x}{2}\) + 4

Thay y = - \(\dfrac{x}{2}\) + 4 vào biểu thức B = \(xy\) ta có: 

B = \(x\).(-\(\dfrac{x}{2}\) + 4)

B = - \(\dfrac{x^2}{2}\) + 4\(x\)

B = -\(\dfrac{1}{2}\). (\(x^2\)  - 8\(x\)  + 16)  +  8 

B = - \(\dfrac{1}{2}\).(\(x\) - 4)² + 8

Vì  \(\dfrac{1}{2}\).(\(x\) - 4)² ≥ 0 ⇒ - \(\dfrac{1}{2}\).(\(x\) - 4)² ≤ 0 ⇒ - \(\dfrac{1}{2}\).(\(x\)  - 4)² + 8 ≤ 8

Dấu bằng xảy ra khi:  \(x\) - 4 = 0 ⇒ \(x\) = 4; thay \(x\) = 4 vào biểu thức:

y = - \(\dfrac{1}{2}\) \(x\)+ 4 ta có y = - \(\dfrac{4}{2}\) + 4 = 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 xảy ra khi \(x\) = 4; y = 2

\(\text{Đặt: }A=-x^2-y^2+xy+2x+2y.\)

    \(\Rightarrow2A=-2x^2-2y^2+2xy+4x+4y=-\left(x^2-4x+4\right)-\left(y^2-y+4\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)+8\)

\(=8-\left(x-2\right)^2-\left(y-2\right)^2-\left(x-y\right)^2\)

(x²/2 - xy + y² /2) + (x² /2 - 2x + 2) + (y² /2 - 2y + 2) - 4 = (x/√2 - y √2)² + (x/√2 - √2)² + (y/√2 - √2)² - 4 >= -4

Vậy GTNN là -4 đạt được khi x = y = 2

Tìm GTNN chớ bạnbạn

\(B=-x^2-y^2+xy+2x+2y\)

\(\Rightarrow-2B=2x^2+2y^2-2xy-2x-4y\)

                    \(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)-8\)

                     \(=\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2-8\)

vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y;\left(x-2\right)^2\ge0\forall x;\left(y-2\right)\ge0\forall y\)nên

\(-2B=\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2-8\ge8\)

hay \(-2B\ge-8\Rightarrow B\le4\)

\(\Rightarrow maxB=4\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-2=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=2\\y=2\end{cases}}}\)